Skript mit Übungen - Hochschule Ravensburg-Weingarten

Man kann zeigen, dass eine Turingmaschine mit einem Zustand maximal ein Zeichen schreiben
kann, eine mit zwei Zuständen maximal vier Zeichen, eine mit drei Zuständen maximal
sechs Zeichen, eine mit vier Zuständen maximal dreizehn Zeichen.
Folgende Tabelle aus [6] listet einige aktuelle bekannte Ergebnisse über fleißige Biber auf.
Hier ist n die Zahl der Zustände (ohne Endzustand), Σ(n) die maximale Zahl geschriebener
Einsen und S(n) die maximale Zahl von Rechenschritten solch einer Maschine.
n Σ(n) S(n) Quelle
1 1 1 Lin und Rado
2 4 6 Lin und Rado
3 6 21 Lin und Rado
4 13 107 Brady
5 ≥ 4098 ≥ 47, 176, 870 Marxen und Buntrock
6 > 1.29 · 10 865 > 3 · 10 1730 Marxen und Buntrock
Interessant ist offenbar auch folgende Frage: Welche Turingmaschine mit n Zuständen - ohne
Endzustand - macht möglichst viele Arbeitschritte, stoppt dann und hinterlässt ein leeres
Band?
Die Funktion (n), die angibt, wie gross die maximale Zahl von Zeichen ist, die eine Turingmaschine
mit n Zuständen (ohne Endzustand) ausgeben kann, ist zwar wohldefiniert, aber
nicht durch eine Turingmaschine und somit überhaupt nicht berechenbar!
3.10 Zusammenfassung zu Sprachen und Maschinenmodellen
Vergleich von Sprachtypen und Maschinenmodellen:
Chomsky-Typ Beschreibung Maschinen-Modell Komplexität d. Wortproblems
0 Regelgrammatiken Turingmaschine unlösbar / halbentscheidbar
1 kontextsensitive linear beschränkter O(a n ) (exponentiell)
Grammatik
Automat (TM)
2 kontextfreie Grammatik Kellerautomat O(n 3 )
(nichtdeterminist.)
3 reguläre Grammatiken / endlicher Automat Θ(n)
reguläre Ausdrücke
Satz 3.6 Church’sche These: Die Menge, der durch Turingmaschine berechenbaren Funktionen
entspricht genau der Menge aller intuitiv berechenbaren Funktionen.
Die Church’sche These ist kein Satz im strengen Sinne, denn der Begriff intuitiv widersetzt
sich einem Beweis.
Satz 3.7 Die Turingmaschine ist gleich mächtig wie der von-Neumann-Rechner, das heißt,
dass jedes Problem, das ein von-Neumann-Rechner löst auch von einer Turingmaschine gelöst
werden kann und umgekehrt.
Damit ist die Menge der Berechnungsprobleme, die von Turingmaschinen gelöst werden
können gleich der Menge der Berechnungsprobleme, die mit einer “klassischen” Programmiersprache
(wie zum Beispiel C) gelöst werden können. Man nennt eine derartige Programmiersprache
Turing-mächtig.
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