Skript mit Übungen - Hochschule Ravensburg-Weingarten

Der Bisektionsalgorithmus
a = 1
b = n
m = ⌊ a+b
2 ⌋
while A[m] ≠ x & b > a
If x < A[m]
Then b = m
Else a = m
m = ⌊ a+b
2 ⌋
If A[m] == x
Then print (’’Hurra ’’,x,’’gefunden an position ’’,m)
Else print (’’Schade, ’’,x,’’nicht in A’’)
Komplexität
Sei die Arraylänge n = 2 k . Dann sind höchstens k Wiederholungen der While-Schleife erforderlich.
Also ist die Rechenzeit proportional zu k, d.h. T (n) = c · k.
Also gilt für die Bisektion
n = 2 k
lnn = k · ln 2
k = ln n
ln 2
T (n) = c · ln n
ln 2 = c · log 2 n = O(log n)
Erläuterung: An log 2 x = ln x = c · ln x ← log n, erkennt man, daß sich alle Logarithmen
ln 2
nur um einen kostanten Faktor unterscheiden.
Das Suchen der Einfügestelle ist mit logarithmischem Aufwand möglich.
Aber: verschieben der O(n) Arrayelemente im Array kostet linearen Aufwand.
Idee: verwende dynamische Datenstruktur als verkettete Liste.
x
Verschieben der Arrayelemente ist damit unnötig. x wird direkt an der richtigen Stelle eingefügt.
Aber: die Bisektion ist auf einer verketteten Liste nicht anwendbar.
Daher: für Sortieren durch Einfügen bleibt T max (n) = Θ(n 2 )
1.2 Quicksort
Beispiel 1.3 Es soll die Liste 5, 3, 2, 6, 4, 1, 3, 7 sortiert werden. Dies erfolgt nach dem Prinzip
divide and conquer durch rekursiv wiederholtes Aufteilen und bearbeiten, wie in folgender
Tabelle zu sehen:
8