Skript mit Übungen - Hochschule Ravensburg-Weingarten

3.3 Chomsky-Hierarchie
Definition 3.10 Jede Grammatik G = (V, Σ, P, S) entsprechend Definition 3.5 ist vom
Typ 0. Die Menge der Typ-0-Grammatiken ist also gleich der Menge aller Grammatiken.
Typ Bezeichnung erlaubte Regeltypen, (w ∈ (V ∪ Σ) + , u ∈ (V ∪ Σ) ∗ )
0 Grammatik w → u.
1 kontextsensitiv w → u mit |w| ≤ |u|.
2 kontextfrei A → u, A → ε, mit A ∈ V , d.h. auf der linken Seite aller Regeln
kommt genau eine Variable vor.
3 regulär A → a, A → aB, A → ε, d.h. auf der rechten Seite der Regeln steht
entweder ein Terminalsymbol oder ein Terminalsymbol gefolgt von
einer Variablen.
∥
Eine Sprache ist vom Typ t, wenn es eine Grammatik vom Typ t gibt mit L(G) = L.
Beispiel 3.8 Die Sprache aus Beispiel 3.4 ist offensichtlich eine kontextfreie Grammatik,
das heißt sie ist vom Typ 2. Sie ist aber keine Typ-3-Grammatik. (Warum?)
Beispiel 3.9 Die Sprache {a n b n |n ∈ N} ist kontextfrei und läßt sich durch die Grammatik
G = ({S}, {a, b}, P, S) beschreiben mit
Diese Sprache ist nicht regulär.
P = { S → aSb,
S → ab }.
Beispiel 3.10 Die Sprache {a n b m |n ∈ N, m ∈ N} ist regulär und läßt sich durch die Grammatik
G = ({S, T }, {a, b}, P, S) beschreiben mit
P = { S → aS,
S → aT,
T → bT,
T → b }.
Die Chomsky-Hierarchie der verschiedenen Sprachklassen ist in folgendem Mengendiagramm
dargestellt:
alle Sprachen
überabzählbar weil P (Σ ∗ )
durch Grammatiken beschreibbare Sprachen → Typ 0
abzählbar
Typ 1
Typ 2
Typ 3
alle endlichen Sprachen
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