Skript mit Übungen - Hochschule Ravensburg-Weingarten

Das Wortproblem für reguläre Sprachen kann durch endliche Automaten effizient gelöst
werden. Anschaulich ist ein endlicher Automat ein Rechenelement, welches auf einem Eingabeband
beginnend mit dem ersten Zeichen das eingegebene Wort Zeichen für Zeichen liest.
H A L L O
Z
Lesekopf
Zustand
Hierbei kann er seinen internen Zustand entsprechend von Regeln abhängig vom Eingabezeichen
wechseln. Die Zahl der Zustände ist endlich. Erreicht der Automat nach Lesen des
letzten Zeichens einen Endzustand, so hat er das Wort erkannt. Formal wird der Automat
wie folgt definiert:
Definition 3.12 Ein endlicher Automat M besteht aus einem 5-, bzw. 7-Tupel
M = (Z, Σ, δ, z 0 , E)
bzw.
M = (Z, Σ, δ, z 0 , E, γ, Θ)
mit
Z : endliche Zustandsmenge
Σ : endliches Eingabealphabet, Σ ∩ Z = φ
δ : Z × Σ → P(Z), die Zustandsübergangsfunktion
z 0 : Startzustand
E : Menge der Endzustände
γ : Z × Σ → Θ, die Ausgabefunktion
∥
Θ : Ausgabealphabet
Definition 3.13 Ein Wort w = w 1 . . . w n mit w i ∈ Σ wird akzeptiert von dem endlichen
Automaten M genau dann wenn M gestartet im Startzustand auf w 1 nach n Anwendungen
der Funktion δ, d.h. nach Lesen von w n , einen Endzustand z ∈ Σ erreichen kann.
Die von M akzeptierte (erkannte) Sprache L(M) ist
∥
L(M) = {w ∈ Σ ∗ | M akzeptiert w}
Satz 3.2 Eine Sprache L wird von einem endlichen Automaten genau dann erkannt, wenn
sie regulär (Typ 3) ist.
Beispiel 3.12 Die reguläre Sprache L = {a n b m | n ∈ N, m ∈ N} wird erzeugt durch die
Regelmenge
P = {S → aS, S → aT, T → bT, T → b}
Die Zustandsübergangsfunktion δ des zugehörigen Automaten M = ({S, T, e}, {a, b}, δ, S, {e})
ist gegeben durch die Zustandsübergangstabelle
δ S T e
a {S, T }
b {T, e}
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