Formelsammlung Geometrie - niklausburren.ch

Formelsammlung Geometrie 38
5.3. Dreidimensionale Vektoren
Rechengesetze
⎛a1
⎞ ⎛b1
⎞ ⎛a1
± b1
⎞
r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ± b = ⎜a2
⎟ ± ⎜b2
⎟ = ⎜a2
± b2
⎟
⎜
a
⎟ ⎜
3 b
⎟ ⎜
3 a3
b
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ± 3 ⎠
⎛a1
⎞ ⎛k
⋅ a1
⎞
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k ⋅ a = k ⋅ ⎜a2
⎟ = ⎜k
⋅ a2
⎟,
k ∈R
⎜
a
⎟ ⎜
3 k a
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⋅ 3 ⎠
⎛a1
⎞
r ⎜ ⎟
2 2 2
a = ⎜a2
⎟ = a1
+ a2
+ a3
⎜
a
⎟
⎝ 3 ⎠
5.4. Skalarprodukt
a r
b r
b r
ϕ
a r
Winkel zwischen zwei
Vektoren
r
ϕ = ∠ a,b
r
; 0°
≤ ϕ ≤ 180
( ) °
r
Skalaprodukt a⋅b
= a ⋅ b ⋅cos( ϕ)
r
r
r
Das Produkt von zwei Vektoren ist eine reelle Zahl, kein Vektor.
In Komponentendarstellung
r
a ⋅ b
r
⎛ a
⎜
= ⎜ a
⎜
⎝ a
x
y
z
⎞ ⎛b
⎟ ⎜
⎟ ⋅⎜b
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
x
y
z
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
a
x
⋅b
x
+ a
y
⋅b
y
+ a
z
⋅b
z
cos
( ϕ )
=
a
x
⋅b
x
+ a
y
⋅b
r r
a ⋅ b
y
+ a
z
⋅b
z