Formelsammlung Geometrie - niklausburren.ch

Geometrie
Formelsammlung
© 2002 Niklaus Burren

Formelsammlung Geometrie 2
Inhaltsverzeichnis
1. Planimetrie.....................................................................................4
1.1. Winkel an geschnittenen Parallelen.....................................4
1.2. Winkel am Dreieck...............................................................4
1.3. Winkel am Kreis...................................................................5
1.4. Satz des Pythagoras ...........................................................5
1.5. Höhensatz ...........................................................................6
1.6. Kathetensatz........................................................................6
1.7. Gleichseitiges Dreieck .........................................................6
1.8. Gleichschenklig – rechtwinkliges Dreieck ............................7
1.9. Flächeninhalte .....................................................................7
1.10. Innenwinkelsumme eines beliebigen n-Ecks .......................7
1.11. Tangentenabschnitte ...........................................................7
1.12. Tangentenviereck ................................................................8
1.13. Kreis und Kreisring ..............................................................8
1.14. Bogenmass .........................................................................8
1.15. Potenzreihen für sin(x), cos(x) und tan(x) ...........................9
1.16. Kreissektor ..........................................................................9
1.17. Kreissegment.......................................................................9
1.18. Strahlensätze.....................................................................10
1.19. Inkreis................................................................................11
1.20. Umkreis .............................................................................12
1.21. Schwerpunkt eines Dreiecks .............................................13
1.22. Höhelinien .........................................................................13
1.23. Mittellinien .........................................................................14
1.24. Winkelhalbierende im Dreieck ...........................................14
1.25. Zentrische Streckung.........................................................14
1.26. Einbeschreibungsaufgaben ...............................................15
1.27. Ähnliche Figuren................................................................15
1.28. Ähnliche Dreiecke..............................................................16
1.29. Ähnlichkeit am Kreis ..........................................................17
2. Trigometrie ..................................................................................19
2.1. Rechtwinkliges Dreieck......................................................19
2.2. Arcusfunktionen.................................................................19
2.3. Brechung von Licht............................................................20
2.4. Flächeninhalt eines Dreiecks.............................................20
2.5. Einheitskreis ......................................................................21
2.6. Sinussatz...........................................................................21
2.7. Cosinussatz.......................................................................21
3. Goniometrie .................................................................................22

Formelsammlung Geometrie 3
3.1. Beziehungen zwischen sin(α), cos(α) und tan(α) ..............22
3.2. Additionstheoreme.............................................................22
3.3. Funktion des doppelten Winkels........................................22
4. Stereometrie ................................................................................23
4.1. Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum...........23
4.2. Ebene................................................................................23
4.3. Winkel im Raum ................................................................24
4.4. Prisma ...............................................................................25
4.5. Pyramide ...........................................................................26
4.6. n-seitiger Pyramidenstumpf ...............................................27
4.7. Prismatoide .......................................................................27
4.8. Reguläre Polyeder (Platonische Körper)............................29
4.9. Kreiszylinder......................................................................30
4.10. Kreiskegel..........................................................................31
4.11. Kegelstumpf.......................................................................32
4.12. Guldinsche Regeln ............................................................32
4.13. Kugel und Kugelteile..........................................................33
4.14. Ähnliche Körper .................................................................34
5. Vektorgeometrie ..........................................................................35
5.1. Elementare Vektoroperationen ..........................................35
5.2. Zweidimensionale Vektoren...............................................37
5.3. Dreidimensionale Vektoren................................................38
5.4. Skalarprodukt ....................................................................38
5.5. Flächeninhalt eines Dreiecks.............................................39
5.6. Geraden ............................................................................40
5.7. Ebene................................................................................40
5.8. Koordinatengleichung........................................................41
5.9. Abstand eines Punktes......................................................43
5.10. Winkelprobleme.................................................................43

Formelsammlung Geometrie 4
1. Planimetrie
1.1. Winkel an geschnittenen Parallelen
Stufenwinkel Gegenwinkel Wechselwinkel
α = α’ α 1 + α 2 = 180° α = α’
β = β’ β 1 + β 2 = 180° β = β’
1.2. Winkel am Dreieck
Innenwinkel:
α + β + γ = 180°
ϕ = α + γ
μ = β + γ
Gleichschenkliges Dreieck
ε = ε '
λ = 2ε
Rechtwinkliges Dreieck
α + β = 90°
α + 90°
= ϕ

Formelsammlung Geometrie 5
1.3. Winkel am Kreis
Ein Peripheriewinkel ist halb so
gross wie der zugehörige
Zentriwinkel.
Alle Peripheriewinkel über gleichem Bogen
sind gleich gross.
ε
1 = ε2
= ε3
Ein Sehnentangentenwinkel ist gleich gross
wie ein Peripheriewinkel über dem eingeschlossenen
Bogen.
τ
=
ε
Sehnenviereck
Ein Viereck, das einen Umkreis hat heisst
Sehnenviereck. Im Sehnenviereck beträgt die
Summe zweier gegenüberliegender Winkel
180°.
α + γ = 180°
β + δ = 180°
1.4. Satz des Pythagoras
Addiert man das Quadrat der Katheten a und b
erhält man das Quadrat der Hypotenuse.
2 2
a + b =
c
2

Formelsammlung Geometrie 6
1.5. Höhensatz
Im rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Höhe den gleichen
Flächeninhalt wie das Rechteck, gebildet aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
h
2
=
p⋅q
p, q: Hypotenusenabschnitte
1.6. Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete den
gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck, gebildet aus der Hypotenuse
und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
a
2
= c ⋅
p
b
2
= c ⋅ q
a, b: Katheten
c: Hypotenuse
p, q Hypotenusenabschnitte
1.7. Gleichseitiges Dreieck
Fläche des gleichschenkligen
Dreiecks:
A =
3 ⋅
4
2
z

Formelsammlung Geometrie 7
1.8. Gleichschenklig – rechtwinkliges Dreieck
1.9. Flächeninhalte
Dreieck Parallelogramm Trapez
1 a + c
A = ⋅ g ⋅ h A = g ⋅ h
A = ⋅ h
2 2
1.10. Innenwinkelsumme eines beliebigen n-Ecks
Mit folgender Formel kann die Innenwinkelsumme für beliebigen n-
Ecke berechnet werden:
s
( n − 2) ⋅ °
= 180
s: Innenwinkelsumme
n: Anzahl Ecken
1.11. Tangentenabschnitte
Die Abschnitte u und v der Tangenten von
einem Punkt an einen Kreis sind gleich lang:
v = u

Formelsammlung Geometrie 8
1.12. Tangentenviereck
In jedem Tangentenviereck sind die Summen
zweier Gegenseiten gleich gross:
a + c = b + d
1.13. Kreis und Kreisring
Kreis
Umfang
Flächeninhalt
u
= 2 π ⋅
2
A = πr
r
Kreisring
Ringbreite
Flächeninhalt
b = R − r
A = π
A = 2πr
2 2
( R − r )
m
⋅
b
r m
= r +
b
2
1.14. Bogenmass
Winkel im Bogenmass
ϕ )
=
b
r
r = beliebiger Radius
b = Länge des Kreisbogens
Umrechnung
ϕ
ϕ rad = 2π
360°
⋅

Formelsammlung Geometrie 9
1.15. Potenzreihen für sin(x), cos(x) und tan(x)
3 5 7
x x x
sin( x)
= x − + + + ........., x ∈ R
3! 5! 7!
2 4 6
x x x
cos( x)
= 1−
+ + + ........, x ∈ R
2! 4! 6!
1 3 2 5 17 7 62
tan( x)
= x + x + x + x + x
3 15 315 2835
9
+ ..........,
x
π
<
2
n!
= 1⋅
2 ⋅3⋅
4 ⋅...
⋅ n
( n
Fakultät)
1.16. Kreissektor
r = Radius
b = Bogenlänge
)
ϕ = Zentriwinkel 0 < ϕ < 2π
A SK = Flächeninhalt
ϕ )
b = ⋅ 2πr
= ϕ ⋅r
360°
A SK
ϕ 1 )
r
360°
2
2
= ⋅π
= ⋅ϕ
⋅
r
2
A SK
1
= ⋅ b ⋅ r 2
1.17. Kreissegment
r = Radius
)
ϕ = Zentriwinkel 0 < ϕ < 2π
s = Sehnenlänge
h = Segmenthöhe
A SG = Flächeninhalt
⎪⎧
A
A SG = ⎨
⎪⎩
A
SK
SK
− A
+ A
Dreieck
Dreieck
,
,
falls
falls
)
ϕ < π
)
ϕ > π

Formelsammlung Geometrie 10
A SG
⎛ π ⋅ϕ
sin( ϕ)
⎞
= ⎜ − ⎟⋅
r
⎝ 360°
2 ⎠
2
A SG
1 ) )
= ϕ
2
2
( ϕ − sin( )) ⋅ r
1.18. Strahlensätze
Werden zwei Halbgeraden, die von einem Punkt Z (Scheitel) ausgehen,
von mindestens zwei Parallelen geschnitten, so heisst die Anordnung
Strahlensatzfigur.
a n , b n heissen
Strahlenabschnitte
c, d heissen
Parallelenabschnitte
1. Strahlensatz (Ohne Parallelenabschnitte)
a
1
b =
1
oder
a
2
b
2
a
1
a1
+ a
2
=
b1
b + b
1
2
2. Strahlensatz (Mit Parallelenabschnitte)
c
d
1
= oder
a
1
a
+ a
2
c
d
=
b1
b + b
1
2
Umkehrung des 1. Strahlensatzes
Gegeben sind:
Zwei Halbgeraden g und h mit gemeinsamen
Anfangspunkt Z
Zwei Geraden p und q, welche die Halbgeraden
schneiden.

Formelsammlung Geometrie 11
Wenn
a 1 b =
1 dann sind p und q parallel.
a
2
b
2
Die Umkehrung des 2. Strahlensatzes gilt nicht!
1.19. Inkreis
Die Winkelhalbierenden w α , w β , w γ eines Dreiecks ABC schneiden sich
im Inkreismittelpunkt.

Formelsammlung Geometrie 12
1.20. Umkreis
Die Mittelsenkrechten m a , m b , m c eines Dreiecks ABC schneiden sich
im Umkreismittelpunkt.

Formelsammlung Geometrie 13
1.21. Schwerpunkt eines Dreiecks
Die Seitenhalbierenden (Schwerelinien) s a , s b , s c eines Dreiecks ABC
schneiden sich im Schwerpunkt S. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden
im Verhältnis 2 : 1.
1.22. Höhelinien
Die Höhenlinien h a , h b , h c eines Dreiecks ABC schneiden sich im Höhenschnittpunkt.

Formelsammlung Geometrie 14
1.23. Mittellinien
Die Mittellinien m a , m b , m c eines Dreiecks ABC sind halb so lang wie
die Gegenseiten und parallel zu diesen. Sie teilen das Dreieck in vier
kongruente Teildreiecke.
1.24. Winkelhalbierende im Dreieck
Eine Winkelhalbierende (ϕ 1 = ϕ 2 ) teilt die Gegenseite im Verhältnis der
anliegenden Seiten.
m =
n
a
b
1.25. Zentrische Streckung
Eine Abbildung heisst zentrische Streckung mit dem Streckzentrum Z
und dem Streckungsfaktor k (k ist eine positive, reele Zahl), wenn gilt:

Formelsammlung Geometrie 15
Der Bildpunkt P’ des Originalpunktes P liegt auf dem Strahl ZP und
ZP'
=
k ⋅ ZP
0 < k < 1 Das Bild ist kleiner als das Original Verkleinerung
1 < k Das Bild ist grösser als das Original Vergrösserung
k = 1 Bild und Original sind gleich kongruent.
Eigenschaften der zentrischen Streckung
1. Eine Gerade wird auf eine Gerade abgebildet. Gerade und Bild-
Gerade sind parallel.
2. Das Bild einer Strecke hat die k – fache Länge: a'
= k ⋅ a
3. Winkel werden auf gleichgrosse Winkel abgebildet: α' = α
4. Das Bild eines Kreises ist ein Kreis mit dem Radius: r'
= k ⋅r
5. Der Flächeninhalt der Bildfigur ist k 2 – mal so gross wie der
Flächeninhalt des Originals: A' = k
⋅ A
1.26. Einbeschreibungsaufgaben
Ein konvexes Vieleck A heisst einer konvexen Figur B einbeschrieben,
wenn jede Ecke von A auf dem Rand von B liegt:
1.27. Ähnliche Figuren
Eine Figur U heisst ähnlich zu einer Figur V, wenn man U mit Hilfe
einer zentrischen Streckung so vergrössern oder verkleinern kann,
dass sie zu V kongruent ist.
Symbol:
U ~ V

Formelsammlung Geometrie 16
In ähnlichen Figuren sind alle entsprechenden Winkel gleich gross, und
alle entsprechenden Strecken als auch Kurven haben dasselbe Längenverhältnis.
U ~ V
⎧ϕ ' = ϕ,
α'
= α
⎪
⎨ a' b'
⎪k
= = =
⎩ a b
c'
c
= ...... =
a' + b' + c' + d'
a + b + c + d
k: Streckungsfaktor
Flächeninhalte: U ~ V
2
k =
A
A
V
U
1.28. Ähnliche Dreiecke
Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, dann sind sie ähnlich:
α = α' ∧β
= β ' Δ ABC ~ Δ A'
B'
C'

Formelsammlung Geometrie 17
Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, dann haben zwei entsprechende
Strecken (z.B. Seiten, Höhen, Winkelhalbierende, Umkreisradien, Umfänge,
...) das gleiche Längenverhältnis.
a'
h'
w'
r'
Δ ABC ~ Δ A'
B'
C'
k = = = = = ......
a h w r
u'
k =
u
a'
= k ⋅ a,
h'
= k ⋅ h,......
k: Streckungsfaktor
Die Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate
entsprechender Strecken.
Δ ABC ~ Δ A'
B'
C'
A
A
2
2
A ' B'
C ' ⎛ a'
⎞ ⎛ h'
⎞
= = = ...... =
ABC
⎜
⎝
a
⎟
⎠
⎜ ⎟
⎝ h ⎠
k
2
A
A'
B'
C '
= k
2
⋅ A
ABC
1.29. Ähnlichkeit am Kreis
Sehnensatz
u ⋅ u'
= v ⋅v'
= w⋅
w'
Sekanten - Tangentensatz
2
( a + b) = c( c + d ) t
a =

Formelsammlung Geometrie 18
Zusammengefasst (Potenzsatz):
Für jede Transversale eines Kreises durch einen Punkt S ist das Produkt
der Entfernungen zwischen S und den Schnittpunkten mit dem
Kreis jeweils konstant. Liegt S ausserhalb des Kreises, so hat auch das
Quadrat des Tangentenabschnittes denselben Wert.

Formelsammlung Geometrie 19
2. Trigometrie
2.1. Rechtwinkliges Dreieck
Hypotenuse
Gegenkathete
ϕ
Ankathete
Seitenverhältnisse
Sinus sin ( ϕ ) =
( 0 ° < ϕ < 90°
)
Cosinus ( ϕ )
Tangens ( ϕ )
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
cos =
Hypotenuse
tan =
2.2. Arcusfunktionen
Gegenkathete
Ankatete
Hypotenuse
Gegenkathete
ϕ
Ankathete
Gegenkathete
sin ( ϕ ) =
Hypotenuse
Ankathete
cos ( ϕ ) =
Hypotenuse
Gegenkathete
tan ( ϕ ) =
Ankatete
− Gegenkathete
ϕ = sin 1 ⋅
Hypotenuse
−
ϕ = cos 1 ⋅
−
ϕ = tan 1 ⋅
Ankathete
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankatete

Formelsammlung Geometrie 20
2.3. Brechung von Licht
Brechungsgesetz von Snellius
n
⋅sin( ϕ1)
= n2
⋅sin(
2)
1
ϕ
n: Brechzahl
Totalreflexion
Kritischer Einfallswinkel, wenn Brechungswinkel 90° erreicht.
2.4. Flächeninhalt eines Dreiecks
In jedem Dreieck gilt:
1
A = ⋅ p ⋅ q ⋅sin(
ϕ)
2

Formelsammlung Geometrie 21
2.5. Einheitskreis
Definition
sin( α)
= y
P
cos( α)
= x
y
tan( α)
=
x
P
P
P
=
sin( α)
cos( α)
( x
P
≠
0)
2.6. Sinussatz
In jedem Dreieck ABC gilt:
a
sin( α)
=
b
sin( β )
=
c
sin( γ )
=
2r
a : b : c = sin(α) : sin(β) : sin(γ)
2.7. Cosinussatz
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc
⋅cos(
α )
b
2
=
a
2
+ c
2
− 2ac
⋅cos(
β )
c
2
=
a
2
+ b
2
− 2ab
⋅cos(
γ )

Formelsammlung Geometrie 22
3. Goniometrie
3.1. Beziehungen zwischen sin(α), cos(α) und tan(α)
sin
2
2
( α ) + cos ( α)
= 1
tan( α ) =
sin( α )
cos( α )
3.2. Additionstheoreme
sin( α + β ) = sin( α ) ⋅cos(
β ) + cos( α ) ⋅sin(
β )
sin( α − β ) = sin( α ) ⋅cos(
β ) − cos( α ) ⋅sin(
β )
cos( α + β ) = cos( α ) ⋅cos(
β ) − sin( α ) ⋅sin(
β )
cos( α − β ) = cos( α ) ⋅cos(
β ) + sin( α ) ⋅sin(
β )
tan( α ) + tan( β )
tan( α + β ) =
1−
tan( α ) ⋅ tan( β )
tan( α ) − tan( β )
tan( α − β ) =
1+
tan( α ) ⋅ tan( β )
( 90° −α
) cosα
cos ( 90°
−α
) = sinα
sin =
1
tan ( 90°
−α
) =
tanα
3.3. Funktion des doppelten Winkels
sin( 2α
) = 2⋅sin(
α ) ⋅cos(
α )
cos(2α
)
2
2
2
2
= cos ( α ) − sin ( α ) = 1−
2⋅sin
( α ) = 2⋅cos
( α ) −1
2⋅
tan( α)
tan( 2α
) =
1−
tan 2
( α)

Formelsammlung Geometrie 23
4. Stereometrie
4.1. Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
Symbole: Punkte: A, B, C, ... Geraden: a, b, c, …
Ebenen: ε 1 , ε 2 , ε 3 , ..., ε (ABC)
Gegenseitige Lage von Geraden
4.2. Ebene
sich schneidende Geraden:
a und e
a und d
parallele Geraden:
b, c und d
windschiefe Geraden:
a und b, a und c
e und b, e und c
Eine Ebene ist eindeutig festgelegt durch:
3 Punkte A, 1 Punkt A und 2 sich schnei - 2 parallel Geraden
B, C 1 Gerade g dende Geraden
Gegenseitige Lage von Ebenen
Zwei Ebenen
schneiden sich
sind parallel

Formelsammlung Geometrie 24
Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
Die Gerade liegt ist parallel zur durchstösst die
in der Ebene Ebene Ebene
4.3. Winkel im Raum
Der Winkel ϕ zwischen einer
Geraden g und einer Ebenen ε ist
der Winkel zwischen der Gerade
g und ihrer Projektion g’ in der
Ebene ε.
Spezialfall: Lot
Eine Gerade g heisst Lot einer
Ebene ε, wenn mindestens zwei
Geraden gibt, die zu g senkrecht
stehen. Die Ebene ε ist die Normalebene
zu g.
Der Winkel ϕ (ϕ < 90°) zwischen
den Ebenen ε 1 und ε 2 ist wie folgt
definiert:
Errichtet man in einem beliebigen
Punkt P der Schnittgerade je
eine Senkrechte p und q zu s in
beiden Ebenen, so bilden diese
Geraden den Winkel ϕ,
Spezialfall: Normalebene
Ist ϕ = 90° stehen die beiden
Ebenen normal zueinander.

Formelsammlung Geometrie 25
4.4. Prisma
Jeder geometrische Körper, der
begrenzt wird von
zwei kongruenten und parallelen
n - Ecken (Grund - und Deckfläche)
und n Parallelogrammen
(Mantel) heisst n - seitiges Prisma
Die Oberfläche S:
S = M + G +
D
M: Mentelfläche (Summe aller Seiten)
G: Grundfläche
D: Deckfläche D = G
Das Volumen V:
V
= G⋅h
h: Höhe (Abstand von Grund - und Deckfläche)
Gerades Prisma
Ein Körper heisst gerades Prisma, wenn
der Mantel ausschliesslich aus Rechtecken
besteht.
Sonderfälle des geraden Prismas
Reguläres Prisma: Die Grundfläche ist ein reguläres Vieleck
Quader:
Die Grundfläche ist ein Rechteck
Würfel:
Quader mit lauter gleich langen Kanten

Formelsammlung Geometrie 26
4.5. Pyramide
n-seitige Pyramide
Eine n - seitige Pyramide ist ein geometrischer
Körper, der begrenzt wird
von einem Vieleck (n - Eck) und von n -
Dreiecken (Seitenflächen), die einen
Eckpunkt (Spitze) gemeinsam haben.
Die Oberfläche S:
S = M + G
M: Mantelfläche (Summe aller Seitenflächen)
G: Grundfläche
Das Volumen V:
V
1
= ⋅ G ⋅ h 3
H: Abstand der Spitze von G
Gerade Pyramide
Bei der Geraden Pyramide fällt der Fusspunkt der Höhe h mit dem
Schwerepunkt S der Grundfäche zusammen.
Reguläre Pyramide
Die Grundfläche ist ein reguläres Vieleck
Tetraeder
Die Grundfläche ist ein Dreieck
Reguläres Tetraeder
Vier gleichseitige Dreiecke als Begrenzungsflächen

Formelsammlung Geometrie 27
4.6. n-seitiger Pyramidenstumpf
Pyramidenstumpf nennt man jeden geometrischen Körper, der entsteht,
wenn eine Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene
geschnitten wird. Damit erhält man einen Pyramidenstumpf und eine
Ergänzungspyramide.
Ein Pyramidenstumpf wird von zwei
zueinander parallelen und ähnlichen
aber nicht kongruenten n -
Ecken sowie n Trapezen begrenzt.
Volumen:
( + GD D)
1
V = ⋅ h G +
3
4.7. Prismatoide
Ein Prismatoid ist ein Polyeder mit der folgenden Oberfläche:
- Grund - und Deckfläche sind parallel Vielecke; die Eckzahl kann
verschieden sein
- Die Deckfläche darf zu einer Strecke (Deckkante) oder einem Punkt
entartet sein.
- Der Mantel besteht aus Dreiecken, Trapezen oder Parallelogrammen.

Formelsammlung Geometrie 28
Sonderfälle des Prismatoids
Prisma, Pyramide und Pyramidenstumpf
Bei einem senkrechten Prismatoid liegen die Schwerpunkte der
Grund - und Deckfläche senkrecht übereinander.
Das Volumen eines Prismatoids:
h
V = 4
6
( G + D + )
A m
h: Höhe (Abstand zwischen Grund - und Deckfläche)
G: Grundfläche
D: Deckfläche (besteht diese aus einer Strecke oder einem
Punkt, so ist D = 0 einzusetzen)
A m : Mittelschnittfläche (Schnittfläche in halber Höhe und parallel
zur Grundfläche). Die Mittelschnittebene halbiert alle Seiten -
kanten.

Formelsammlung Geometrie 29
4.8. Reguläre Polyeder (Platonische Körper)
Ein Polyeder heisst regulär oder Platonischer Körper, wenn er von
kongruenten Vielecken begrenzt wird und wenn in jeder Ecke gleich
viele Kanten zusammenstossen.

Formelsammlung Geometrie 30
4.9. Kreiszylinder
Verschiebt man eine Kreisfläche parallel um eine bestimmte Strecke,
so entsteht ein Kreiszylinder.
Mantellinie:
Verbindungsstrecke zweier entsprechender Punkte
Der beiden Kreislinien. Sie sind immer parallel zur
Körperachse.
Volumen V:
V
= G ⋅h
= π r
2
⋅h
Gerader Kreiszylinder
Verschiebung senkrecht zur Kreisfläche zur Kreisfläche, d.h. die Achse
steht senkrecht zur Grund - und zur Deckfläche.
Oberfläche S: S = G+
D+
M = 2πr
2 + 2πrh=
2πr
( r + h)

Formelsammlung Geometrie 31
4.10. Kreiskegel
Verbindet man alle Punkte einer Kreislinie mit einem Punkt, der ausserhalb
der Kreisebene liegt, durch Strecken, so entsteht ein Kreiskegel
oder auch Kegel genannt.
Volumen V
V
=
1 π
⋅G
⋅ h = ⋅ r
3 3
2
⋅ h
Mantelfläche M
M =π r⋅m
Oberfläche S S = π r( r + m)
ϕ
360°
=
r
m
M: Mantellinie
α: Öffnungswinkel
ϕ: Zentriwinkel des abgewickelten Mantels

Formelsammlung Geometrie 32
4.11. Kegelstumpf
Kegelstumpf nennt man jeden geometrischen Körper, der entsteht,
wenn ein Kreiskegel durch eine zur Grundfläche parallele Ebene geschnitten
wird. Damit erhält man einen Kegelstumpf und einen Ergänzungskegel.
Volumen V:
V
π
= ⋅h
3
2 2
( r + R + R ⋅r)
Der gerade Kegelstumpf
Mantelfläche: M = π m( r + R)
4.12. Guldinsche Regeln
Meridian: Erzeugende ebene Kurve
S F : Schwerpunkt der Meridianfläche
A: Inhalt der Meridianfläche
S L : Schwerpunkt der Meridianlinie
m: Länge der Meridianlinie
V
=
2π ⋅r
F ⋅
A
Das Volumen eines Rotationskörpers ist
gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt
A der den Körper erzeugenden Fläche und
dem Weg, den ihr Schwerpunkt bei einer
Umdrehung um die Rotationsachse zurücklegt.

Formelsammlung Geometrie 33
4.13. Kugel und Kugelteile
Kugel
Volumen
V
=
4π
3
3
r
Oberfläche
S
=
4πr
2
Kugelsektor
Volumen
V
=
2π
⋅r
3
2 ⋅
h
Kugelsegment
π
3
π 2
V = ⋅h 3ρ
+ h
6
2
Volumen V = ⋅h
( 3r − h)
2
( )
Oberfläche
S
=
A + πρ
2
Kugelhaube
A
=
2π ⋅r
⋅h
Kugelschicht
π 2 2 2
Volumen V = ⋅h( 3a + 3b + h )
2 2
Oberfläche S = A + π( a + b )
6
Kugelzone
A = 2π ⋅r
⋅h

Formelsammlung Geometrie 34
4.14. Ähnliche Körper
Für ähnliche Körper mit dem Streckungsfaktor k gilt:
Längen:
h'
r'
m'
k = = = = ......
h r m
Flächeninhalte
2 G'
M ' A'
S'
k = = = = = ......
G M A S
Volumen
k
3 =
V
V
'

Formelsammlung Geometrie 35
5. Vektorgeometrie
5.1. Elementare Vektoroperationen
Addition
a r
c r c r
b r
r a r b r
Der Vektor r r heisst die Summe oder Resultierende von a r , b r und c r :
r r r r
= a + b + c
Die Resultierende erhält man durch den Pfeil vom Anfangspunkt des
ersten bis zum Endpunkt des letzten, angesetzten Pfeils.
Rechengesetze
Kommutativgesetz:
r r r r
a + b = b + a
r r r r r r
Assoziativgesetz: ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Subtraktion
Unter dem Gegenvektor ( − a r ) von a r versteht
Man jenen Vektor, der denselben Betrag, aber die
entgegngesetzte Richtung wie a r hat.
Der Gegenvektor einer Verschiebung
AB = - AB = BA
a r b r a r
− b r
r r
a − b
a r
− a r

Formelsammlung Geometrie 36
r r r
a − b = a +
r
( −b)
Rechengesetze
r r r
a − a = 0
(Nullfektor)
r r
a − b
=
r r
b − a
Multiplikation „Skalar mal Vektor“
Skalar = eine Grösse, bei der die Richtung keine Rolle spielt. (z.B.
Temperatur)
a r
k ⋅ a
r
r r
k ⋅ a = b
r r r
Betrag:
b = k ⋅a
= k ⋅ a , k ∈ R
Richtung: k > 0: k ⋅ a
r und a r haben die gleiche Richtung
k < 0: k ⋅ a
r und a r sind entgegengesetzt
r r r r r r
Sonderfälle: 1 ⋅ a = a ; ( − 1) ⋅ a = −a
; 0 ⋅ a = 0
r r r r
Rechengesetze: m ⋅ ( a + b) = m ⋅ a + m ⋅b
r r r
( m + n) ⋅ a = m ⋅ a + n ⋅ a m,n
∈ R
r r
m( n ⋅ a) = ( m ⋅n) ⋅ a
r
a 1 r
= ⋅ a
m m
Kollineare Vektoren
Vektoren, die parallel oder antiparallel sind.
a r und b r sind kollinear
r r
a = k ⋅b
, k ∈ R ∧ k ≠ 0

Formelsammlung Geometrie 37
5.2. Zweidimensionale Vektoren
Die Menge aller Pfeile mit derselben Länge und derselben Richtung
bildet einen Vektor eine Vektor. Ein einzelner Pfeil heisst Repräsentant
(Vertreter) des Vektors.
a r
y
a r
a 2
0
a r =
r
A
a 1
A
a r
x
Ortsvektor eines Punktes A
Repräsentant, der vom Koordinatenursprung 0 ausgeht.
Symbole:
0A
oder rr A
Komponentendarstellung eines Vektors
⎛a1
⎞
a r =
⎜
⎟ ; Die Zahlen a 1 und a 2 heissen Koordinaten oder
⎝a2
⎠
Rechengesetze
r r ⎛a
a ± b =
⎜
⎝a
r
a =
⎛a
⎜
⎝a
1
2
1
2
r ⎛a
k ⋅ a = k ⋅
⎜
⎝a
⎞ ⎛b
⎟ ±
⎜
⎠ ⎝b
1
2
⎞
⎟ =
⎠
a
2
1
1
2
⎞ ⎛a
⎟ =
⎜
⎠ ⎝a
⎞ ⎛k
⋅ a
⎟ =
⎜
⎠ ⎝k
⋅ a
+ a
1
2
2
2
1
2
Komponenten des Vektors a r
± b
1
± b
2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟,
k ∈R
⎠

Formelsammlung Geometrie 38
5.3. Dreidimensionale Vektoren
Rechengesetze
⎛a1
⎞ ⎛b1
⎞ ⎛a1
± b1
⎞
r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a ± b = ⎜a2
⎟ ± ⎜b2
⎟ = ⎜a2
± b2
⎟
⎜
a
⎟ ⎜
3 b
⎟ ⎜
3 a3
b
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ± 3 ⎠
⎛a1
⎞ ⎛k
⋅ a1
⎞
r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
k ⋅ a = k ⋅ ⎜a2
⎟ = ⎜k
⋅ a2
⎟,
k ∈R
⎜
a
⎟ ⎜
3 k a
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⋅ 3 ⎠
⎛a1
⎞
r ⎜ ⎟
2 2 2
a = ⎜a2
⎟ = a1
+ a2
+ a3
⎜
a
⎟
⎝ 3 ⎠
5.4. Skalarprodukt
a r
b r
b r
ϕ
a r
Winkel zwischen zwei
Vektoren
r
ϕ = ∠ a,b
r
; 0°
≤ ϕ ≤ 180
( ) °
r
Skalaprodukt a⋅b
= a ⋅ b ⋅cos( ϕ)
r
r
r
Das Produkt von zwei Vektoren ist eine reelle Zahl, kein Vektor.
In Komponentendarstellung
r
a ⋅ b
r
⎛ a
⎜
= ⎜ a
⎜
⎝ a
x
y
z
⎞ ⎛b
⎟ ⎜
⎟ ⋅⎜b
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
x
y
z
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
a
x
⋅b
x
+ a
y
⋅b
y
+ a
z
⋅b
z
cos
( ϕ )
=
a
x
⋅b
x
+ a
y
⋅b
r r
a ⋅ b
y
+ a
z
⋅b
z

Formelsammlung Geometrie 39
Gesetze
r r r 2 r
a ⋅ a = ( a)
= a
r r r r
a ⋅ b = b ⋅ a
r
r v r r r r
a ⋅ ( b + c)
= a ⋅ b + a ⋅ c
r r r r
( m ⋅ a) ⋅ ( n ⋅ b) = mn( a ⋅ b ),
m,n ∈R
r r
a ⊥ b
r r r r
r r
und a ≠ 0 und b ≠ 0 a ⋅b
= 0
Die Vektoren a r und b r , welche vom
Nullvektor verschieden sind, sind
genau dann orthogonal, wenn ihr
Skalarprodukt Null ergibt.
Das Skalarprodukt heisst im englischen Sprachraum Dotproduct. Unter
dieser Bezeichnung findet man die entsprechende Funktion auch auf
gängigen Taschenrechner.
TI89 CATALOG dotP
r
a b
v
⋅ dotP([ax ,a y ,a z ],[b x ,b y ,b z ])
a r norm([a x ,a y ,a z ])
2
5.5. Flächeninhalt eines Dreiecks
C
a r
B
b r
A
A ABC
=
1
2
⋅
r
a
2
r
⋅ b
2
−
r r
( a ⋅b
) 2

Formelsammlung Geometrie 40
5.6. Geraden
Parametergleichung einer
Geraden:
r r
r = 0
+ t ⋅u
mit t ∈ R
r 0
: Orsvektor des Ausgangspunktes P 0
r :
t :
u r :
Orsvektor eines beliebigen Punktes P der Geraden
Parameter
Richtungsvektor
r
=
r
0
r
+ t ⋅u
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⇔ ⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
⎛ x
⎜
= ⎜ y
⎜
⎝ z
0
0
0
⎞ ⎛ u
⎟ ⎜
⎟ + t ⋅⎜u
⎟ ⎜
⎠ ⎝u
1
2
3
⎞ ⎧ x
⎟ ⎪
⎟ ⇔ ⎨y
⎟ ⎪
⎠ ⎩ z
=
=
=
x
y
z
0
0
0
+ t ⋅ u
+ t ⋅ u
+ t ⋅ u
1
2
3
5.7. Ebene
Parametergleichung einer
Ebene:
r
r
= 0
r r
+ s ⋅ a + t ⋅b
mit
s,
t ∈ R
r 0
: Orsvektor des Ausgangspunktes P 0
r : Orsvektor eines beliebigen Punktes P der Ebene

Formelsammlung Geometrie 41
r
a b
r
, : Richtungsvektoren (spannen die Ebene auf)
a r und b r dürfen nicht kollinear sein.
t
s, : Parameter
Komponentengleichung
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
⎛ x
⎜
= ⎜ y
⎜
⎝ z
0
0
0
⎞ ⎛ a
⎟ ⎜
⎟ + s ⋅ ⎜a
⎟ ⎜
⎠ ⎝ a
1
2
3
⎞ ⎛ b
⎟ ⎜
⎟ + t ⋅ ⎜b
⎟ ⎜
⎠ ⎝b
1
2
3
⎞ ⎧ x
⎟ ⎪
⎟ ⇔ ⎨y
⎟ ⎪
⎠ ⎩ z
=
=
=
x
y
z
0
0
0
+ s ⋅ a
+ s ⋅ a
+ s ⋅ a
1
2
3
+ t ⋅ b1
+ t ⋅ b
+ t ⋅ b
2
3
5.8. Koordinatengleichung
Grundform der Koordinatengleichung
ax + by + cz = d
Bei d = 0 verläuft die Ebene durch den Koordinatennullpunkt.
Normalvektor
⎛a⎞
⎜ ⎟
n r = ⎜b⎟
steht rechtwinklig auf der Ebene ax by + cz = d
⎜ ⎟
⎝ c ⎠
+ .
Sind die Normalvektoren zweier Ebenen kollinear sind die Ebenen
parallel oder liegen aufeinander.
Sind ebenfalls die Richtungsvektoren kollinear liegen die Ebenen aufeinander.
Umrechnung Parametergleichung zu Koordinatengleichung
⎛ x ⎞
⎜ ⎟
⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛2⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜−1⎟
+ s ⋅ ⎜0⎟
+ t ⋅
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝1⎠
⎛−1⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠

Formelsammlung Geometrie 42
Gleichungssystem erstellen und Unbekannten auf eine Seite nehmen:
x
= 3 + 2s
− t
− 2s
+ t
+
x
= 3
y
= −1+
t
⇔
− t
+
y
= −1
z
= 1+
s
− s +
z
= 1
Matrixdarstellung für die Eingabe in den Rechner:
− 2
1
1
0
0
3
0
−1
0
1
0
−1
−1
0
0
0
1
1
Beim TI89 APPSData/Matrix Editor aufrufen und die Matrix
eingeben.
Mit 2ndQUIT Editor verlassen und mit CATALOGref(matrix) die
eingegebene Matrix berechnen lassen.
Resultat des Rechners:
1
0
0
0
−1
−1
0
1
0
−1
0
1
0
0
1
1
− 2
0
0s + 0t + x + y - 2z = 0
Koordinatengleichung
Umrechnung Koordinatengleichung zu Parametergleichung
Koordinatengleichung:
3 x − y + 7z
= 12
Nach einer beliebigen Unbekannten umstellen:

Formelsammlung Geometrie 43
y
= 3x
+ 7z
−12
Unbekannte auf rechter Seite durch die Parameter r uns s ersetzen
und das Gleichungssystem erstellen:
x = r
y = −12
+ 3r
z = s
+ 7s
Daraus lässt sich die Parametergleichung ableiten:
⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
x r = ⎜−12⎟
+ r ⋅ ⎜3⎟
+ s ⋅ ⎜7⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝0⎠
⎝1⎠
5.9. Abstand eines Punktes
Mit Hilfe der Hesse’schen Normalform kann man den Abstand eines
beliebigen Punktes P(x / y / z) von einer Ebene ax + by + cz = d berechnen:
Hesse’sche Normalform
d
=
ax + by + cz − d
a
2
+ b
2
+ c
2
d: Abstand
5.10. Winkelprobleme
sin(ϕ )
=
r r
n ⋅u
r r
n ⋅ u
n r : Normalvektor der Ebene
u r : Garade
ϕ : Winkel zwischen Ebene und Gerade