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Elektrotechnik
Formelsammlung
© 2002 Niklaus Burren

Formelsammlung Elektrotechnik 2
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen....................................................................................6
1.1. Elementarladung ................................................................6
1.2. Elektronengeschwindigkeit .................................................6
1.3. Impulsgeschwindigkeit........................................................6
1.4. Stromstärke ........................................................................6
1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge ...............................................7
1.6. Elektrische Spannung.........................................................7
1.7. Potential .............................................................................7
1.8. Stromdichte ........................................................................7
1.9. Elektrischer Widerstand......................................................8
1.10. Spezifischer Widerstand.....................................................8
1.11. Leiterwiderstand .................................................................8
1.12. Ohmsches Gesetz ..............................................................9
1.13. Leistung..............................................................................9
1.14. Celsius – Kelvin ..................................................................9
1.15. Leitwert und Leitfähigkeit ..................................................10
1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes .....................10
1.17. Widerstandsreihen............................................................12
1.18. Elektrische Arbeit..............................................................12
1.19. Wirkungsgrad ...................................................................13
1.20. Kirchhoffsche Knotenregel................................................13
1.21. Kirchhoffsche Maschenregel ............................................13
1.22. Energieerhaltungssatz......................................................13
1.23. Umrechung Arbeit – Energie ............................................14
1.24. Elektrowärme....................................................................14
1.25. Wärmewirkung / Stromdichte............................................15
2. Widerstandsschaltungen .............................................................16
2.1. Serieschaltung von Widerständen ....................................16
2.2. Parallelschaltung von Widerständen.................................16
2.3. Unbelasteter Spannungsteiler ..........................................17
2.4. Belasteter Spannungsteiler...............................................18
2.5. Vorwiderstand...................................................................18
2.6. Brückenwiderstand ...........................................................18
3. Spannungsquellen.......................................................................20
3.1. Reale Spannungsquelle....................................................20
3.2. Spannungsanpassung......................................................22
3.3. Stromanpassung ..............................................................22
3.4. Leistungsanpassung.........................................................22
3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen.............................23

Formelsammlung Elektrotechnik 3
3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen .........................23
3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin).........................24
3.8. Ersatzspannungsquelle ....................................................25
3.9. Quellenwandlung..............................................................26
4. Wechselstrom..............................................................................28
4.1. Sinuskenngrössen ............................................................28
4.2. Momentanwert..................................................................28
4.3. Frequenz ..........................................................................29
4.4. Kreisfrequenz ...................................................................30
4.5. Liniendiagram...................................................................31
4.6. Zeigerdiagramm ...............................................................31
4.7. Arithmetischer Mittelwert ..................................................32
4.8. Effektivwert.......................................................................33
4.9. Scheitel und Formfaktor....................................................35
4.10. Wellenlänge......................................................................35
5. Elektrisches Feld .........................................................................36
5.1. Coulomb’sches Gesetz.....................................................36
5.2. Elektrische Feldstärke ......................................................36
5.3. Kraft im elektrischen Feld .................................................37
5.4. Elektrische Flussdichte.....................................................37
6. Kondensator ................................................................................39
6.1. Kapazität ..........................................................................39
6.2. Plattenkondensator...........................................................39
6.3. Doppelleitung in Luft.........................................................39
6.4. Koaxialkabel .....................................................................40
6.5. Geschichteter Kondensator ..............................................40
6.6. Energie am Kondensator..................................................40
6.7. Strom und Spannung am Kondensator.............................41
6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)............................................41
6.9. Ladevorgang eines Kondensators ....................................41
6.10. Entladevorgang eines Kondensators ................................42
6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC ......................................43
6.12. Blindleistung .....................................................................44
6.13. Realer Kondensator..........................................................44
7. Kondensatorschaltungen .............................................................46
7.1. Parallelschaltung ..............................................................46
7.2. Reihenschaltung...............................................................46
7.3. Gemischte Schaltungen....................................................47
7.4. Kapazitiver Spannungsteiler .............................................47
8. Magnetismus ...............................................................................48
8.1. Magnetische Flussdichte ..................................................48

Formelsammlung Elektrotechnik 4
8.2. Magnetischer Fluss ..........................................................49
8.3. Magnetische Durchflutung ................................................49
8.4. Magnetische Feldstärke....................................................49
8.5. Mittlere Feldlinienlänge.....................................................50
8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises .................50
8.7. Magnetischer Widerstand .................................................50
8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe .....................................51
8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft...................................................51
8.10. Linke und rechte Handregel..............................................52
8.11. Induktionsgesetz...............................................................52
8.12. Generatorregel .................................................................53
8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe) .......................53
8.14. Lenzsche Regel................................................................54
8.15. Selbstinduktion .................................................................54
8.16. Kopplungsfaktor k.............................................................55
8.17. Gegeninduktivität M..........................................................55
8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen.....................................56
8.19. Streufaktor σ.....................................................................56
8.20. Spannungsübersetzung im Transformator........................56
8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen ............................57
8.22. Transformatorhauptgleichung...........................................58
8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren ..................................58
8.24. Eisenfüllfaktor...................................................................58
8.25. Windungsspannung..........................................................58
8.26. Lagenspannung................................................................59
8.27. Idealer Transformator .......................................................59
8.28. Realer Transformator .......................................................60
8.29. Spartransformator.............................................................61
9. Spule ...........................................................................................62
9.1. Induktivität ........................................................................62
9.2. Spulenkonstante AL ..........................................................62
9.3. Ringkernspule (Toroid) .....................................................63
9.4. Einlagige Zylinderluftspule................................................63
9.5. Energie des magnetischen Feldes....................................63
9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv) .............................................64
9.7. Einschaltverhalten einer Spule .........................................64
9.8. Abschaltverhalten einer Spule ..........................................65
9.9. Induktiver Blindwiderstand................................................65
9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität) ........................66
9.11. Induktive Blindleistung......................................................66
9.12. Reale Spule......................................................................67

Formelsammlung Elektrotechnik 5
10. Spulenschaltungen ......................................................................69
10.1. Serieschaltung von Induktivitäten .....................................69
10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten..................................69
11. Schaltungen mit R, xC und xL .......................................................70
11.1. RC-Serieschaltung ...........................................................70
11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung .................................71
11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ) ......................................................71
11.4. RC-Parallelschaltung........................................................72
11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung.......................73
11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler .........................74
11.7. RL-Serieschaltung ............................................................74
11.8. RL-Parallelschaltung ........................................................76
11.9. RLC-Serieschaltung .........................................................78
11.10. RLC-Parallelschaltung......................................................80
12. Impulsformerglieder .....................................................................82
12.1. Differenzierglied................................................................82
12.2. Integrierglied.....................................................................83
13. Schwingkreise .............................................................................84
13.1. RLC-Serieschwingkreis ....................................................84
13.2. RLC-Parallelschwingkreis.................................................86
14. Filterschaltungen .........................................................................89
14.1. RC-Hochpass ...................................................................89
14.2. RL-Hochpass....................................................................90
14.3. RC-Tiefpass .....................................................................91
14.4. RL-Tiefpass ......................................................................92
14.5. Bandpass .........................................................................93
14.6. Bandsperre.......................................................................94
14.7. Verstärkung - Dämpfung...................................................94
14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass .......................95
14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass .....................95
14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass..............................96
14.11. Dämpfungsmass “Neper”..................................................96
14.12. Spannungswerte in dB......................................................96
14.13. Absoluter Pegel ................................................................97
15. Dreiphasiger Wechselstrom.........................................................98
15.1. Sternschaltung..................................................................98
15.2. Dreieckschaltung ..............................................................99
15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren............100

Formelsammlung Elektrotechnik 6
1. Grundlagen
1.1. Elementarladung
Elektronen sind negativ geladen. Protonen sind positiv geladen. Neutronen
haben keine Ladung. Da ein Atom gleich viele Protonen wie
Elektronen hat, ist es nach aussen neutral. Das Elektron (resp. Proton)
trägt die kleinste Ladung. � Elementarladung
Teilchen Ø Masse Ladung
Elektron 5,6 ⋅10 -15 m 0.91⋅10 -30 kg -1.602⋅10 -19 C/As
Proton - 1.672⋅10 -27 kg +1.602⋅10 -19 C/As
Neutron - 1.675⋅10 -27 kg -
Atom ~10 -10 m Je nach Element -
Atomkern ~10 -14 m Je nach Element -
1.2. Elektronengeschwindigkeit
~ 3 mm/s
1.3. Impulsgeschwindigkeit
~ 300000 km/s �
~ 3 ⋅ 10 8 �
~ Lichtgeschwindigkeit
1.4. Stromstärke
Je mehr Elektronen in einer Sekunde durch den Leiter fliessen, umso
grösser ist die Stromstärke.
Stromstaerke
Stromstaerke
Anzahl Elektronen Anzahl Elementarteichen
=
=
Zeit
Zeit
Elektrizitaetsmenge
Ladung
=
=
Zeit
Zeit
Formelzeichen: I Einheit: A (Ampère)

Formelsammlung Elektrotechnik 7
1.5. Ladung / Elektrizitätsmenge
Die Summe der Elementarteilchen ergibt eine bestimmte Elektrizitätsmenge
(Ladung).
Q = I ⋅t
Q = Ladung [C] [As] C = Coulomb
I = Strom [A]
t = Zeit [s]
1.6. Elektrische Spannung
Die elektrische Spannung ist der Unterschied in der Anzahl Elektronen
(oder Ionen) zwischen zwei Punkten.
Formelzeichen: U Einheit: V (Volt/Volta)
1.7. Potential
Spannung zwischen einem geladenen Punkt und der Erde (oder einem
beliebig gewählten Bezugspunkt) nennt man Potential.
Eine Spannung zwischen zwei Punkten lässt sich als Differenz des
Potentials angeben.
Spannung = Potentialdifferenz
1.8. Stromdichte
Die Stromdichte gibt uns an, wie gross der Strom bezüglich seines
Querschnittes ist.
Stromdichte
J =
I
A
I = Strom [A]
A = Fläche [mm 2 ]
J = Stromdichte [A/mm 2 ] (teilweise auch S)

Formelsammlung Elektrotechnik 8
1.9. Elektrischer Widerstand
Durch den „Zusammenstoss“ mit dem Atomrümpfen werden die Valenzelektronen
in ihrer Bewegung gebremst. Der Leiter setzt dem
Elektronenstrom einen Widerstand entgegen.
Formelzeichen: R
Einheit: Ω (Ohm)
1.10. Spezifischer Widerstand
Jeder Werkstoff setzt dem elektrischen Strom einen anderen Widerstand
entgegen. Dieser Widerstand hängt von der Atomdichte und der
Anzahl freier Elektronen des Stoffes ab.
Spezifischer Widerstand ρ (Roh)
Der spezifische Widerstand eines Leiters ist zahlenmässig gleich seinem
Widerstand bei 1m Länge, 1mm 2 Querschnitt und eine Temperatur
von 20°C.
ρCu (Kupfer) = 0.0178 Ω ⋅ mm 2 /m
Aluminium = 0.03 Ω ⋅ mm 2 /m
Silber = 0.017 Ω ⋅ mm 2 /m
Konstantan = 0.5 Ω ⋅ mm 2 /m
Kohlenfaden = 30-40 Ω ⋅ mm 2 /m
1.11. Leiterwiderstand
Leiterwiderstand
R
=
ρ ⋅l
A
l
=
γ ⋅ A
R = Leiterwiderstand [Ω]
l = Länge [m]
A = Querschnitt [mm 2 ]
ρ = Spez. Widerstand [ Ω ⋅ mm 2 /m]
γ = Leitfähigkeit [1/ρ]

Formelsammlung Elektrotechnik 9
1.12. Ohmsches Gesetz
Das Ohmsche Gesetz ist die Grundlage der Elektrotechnik und der
Elektronik. Es gibt den Zusammenhang zwischen Spannung, Strom
und elektrischem Widerstand an.
Der Strom Entspricht also dem Verhältnis von Spannung und Widerstand
U = R ⋅
I
U = Spannung [V]
R = Widerstand [Ω]
I = Strom [A]
1.13. Leistung
U
R
2
Leistung P = I ⋅U
= = I ⋅ R
P = Leistung [W]
I = Strom [A]
U = Spannung [V]
R = Widerstand [Ω]
1.14. Celsius – Kelvin
2
1 Ps = 736Watt
-273.15°C Eiswasser 0°C Siedendes Wasser 100°C
0 K 273.15 K 373.15 K
Für TC < 100°C: TK = 373. 15K
− ( 100°
C −TC
)
TK = Temperatur [K] Kelvin
TC = Temperatur [°C]

Formelsammlung Elektrotechnik 10
1.15. Leitwert und Leitfähigkeit
Um nicht mit kleinen Widerstandswerten zu rechnen, wurden der Leitwert
und die Leitfähigkeit definiert.
Leitwert
Leitfähigkeit
G
R
1
= [S] Siemens
γ
1
ρ
= [m/Ω ⋅ mm 2 = Sm/mm 2 ]
Die Leitfähigkeit ist der reziproke (Kehrwert) Wert des spezifischen
Widerstandes.
Beispiel: R = 0.89 Ohm � G = 1.12 S
γCu = 6.18 Sm/mm 2
1.16. Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Der Widerstand aller Stoffe ist mehr oder weniger stark von der Temperatur
abhängig!
Kupfer leitet im kalten Zustand besser! � Kaltleiter
Kohle leitet im warmen Zustand besser! � Heissleiter
Der Temperaturkoeffizient α gibt die Widerstandsänderung für einen
Widerstand von 1 Ohm bei der Erwärmung um ein K (Kelvin) an.
Beispiel α [1/K]
- Kupfer: 0.0043
- Aluminium: 0.0047
- Kohle: - 0.00004
- Konstantan: - 0.00008... + 0.00004
Heissleiter = Negativer Temp. Koeffizient = NTC
Kaltleiter = Positiver Temp. Koeffizient = PTC

Formelsammlung Elektrotechnik 11
α bei reinen Metallen ca. 0.004 1 /K
Widerstandsänderung
ΔR = α ⋅ Δϑ
⋅ R = R + ΔR
k
RW k
Rk = Widerstand bei 20°C [Ω]
α = Temperaturkoeffizient [ 1 /k]
Δϑ = Temperaturänderung [°C;K]
ΔR = Widerstandsänderung [Ω]
Rw = Widerstand im warmen Zustand [Ω]
R
W
= R 1
Bemerkungen
k
( + α ⋅ Δϑ)
Bei einigen Metallen verschwindet der Widerstand in der Nähe des
absoluten Nullpunkts (0K entspricht -273,16°C)
� Supraleiter (z.B. Aluminium, Blei, Zinn)
Die Formel = R ( 1+
α ⋅ Δϑ)
R gilt nur bis etwa Δ ϑ = 200K
W
k

Formelsammlung Elektrotechnik 12
1.17. Widerstandsreihen
Mit folgender Formel lassen sich die Widerstandswerte der verschiedenen
Normreihen berechnen.
6 E 6 = 10 =
1.
468
1. Wert: ( ) 0
6 10 = 1 1.0
2. Wert: ( ) 1
6 10 = 1.468 1.5
3. Wert: ( ) 2
6 10 = 2.15 2.2
4. Wert: ( ) 3
6 10 = 3.16 3.3
5. Wert: ( ) 4
6
10
6. Wert: ( ) 5
6
10
7. Wert: ( ) 6
6
10
1.18. Elektrische Arbeit
W = Q ⋅ u = I ⋅ t ⋅ u
= 4.64 4.7
= 6.81 6.8
= 10.0 10.0
2
Andere Darstellung W = R ⋅ I ⋅t
W = Elektrische Arbeit [Ws]
Q = Ladung [C; As]
t = Zeit [s]
u = Spannung [V]
I = Strom [A]
1kWh = 3,
6 ⋅10
K = k ⋅W
6
Ws
K = Kosten [Fr.]
K = Tarif in [Fr./kWh]
W = Elektrische Arbeit [kWh]
2
U
W = ⋅t
R

Formelsammlung Elektrotechnik 13
1.19. Wirkungsgrad
Pabgegeben
η =
[η ] Eta ≤ 1
P
aufgenomme n
η oder in %
1.20. Kirchhoffsche Knotenregel
Für den Knotenpunkt A gilt:
Zufliessende Ströme = Abfliessende Ströme
I + I = I + I + I
1
2
3
4
5
Die Summe aller Ströme in einem Knotenpunkt ist 0!
1.21. Kirchhoffsche Maschenregel
In jedem geschlossenen Stromkreis (Masche) ist die Summe der
Spannungen = 0
1.22. Energieerhaltungssatz
U
1 + 2 + 3 + q1
+ q2
U U U U
= 0
Energie kann nicht erzeugt werden oder verloren gehen, sondern nur
umgewandelt werden!

Formelsammlung Elektrotechnik 14
1.23. Umrechung Arbeit – Energie
Arbeit = Energie
SI-Einheit Wärme: 1J (Joule)
1J = 1Ws = 1Nm
Wärme Elektrische Arbeit Mech. Arbeit
Elektrische Energie Mech. Energie
Alte Einheit: Kalorie (bis 31. 12. 1977)
1kcal = 4.186kJ
1.24. Elektrowärme
Um 1kg Wasser um 1k zu erwärmen, benötigt man die Wasserenergie
(Wärmeenergie) von 4189J (oder 1kcal).
Wärmeenergie Q = m ⋅ Δϑ
⋅ c
m = Masse des Körpers [kg]
Δ ϑ = Temperaturdifferenz [k/°C]
c = spezifische Wärmekapazität [J / (k ⋅ kg)]
c für:
- Wasser 4186 J/k ⋅ kg
- Aluminium 899 J/k ⋅ kg
- Kupfer 390 J/k ⋅ kg
- Stahl (Fe) 466 J/k ⋅ kg
Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 303
ISBN 3-14-225035-2

Formelsammlung Elektrotechnik 15
1.25. Wärmewirkung / Stromdichte
Stromdichte
I
J = [A/mm
A
2 ]
I = J ⋅ A
2
U 2
P = U ⋅ I = = I ⋅
R
Leistung R
Wärmeenergie Q = m ⋅ ρϑ ⋅c
Q = W = P ⋅t
=
I
2
⋅ R ⋅t
= m ⋅ ρϑ ⋅ c
2 ( J ⋅ A)
⋅ R ⋅t
= m ⋅ Δϑ
⋅ c
ρϑ =
J
2
I
2
2
A ⋅ R ⋅t
⋅
m ⋅c
⋅ R ⋅t
= m ⋅ ρϑ ⋅ c
Wird die Stromdichte in einem Leiter erhöht, so nimmt die Temperatur
quadratisch zu! Brandgefahr.

Formelsammlung Elektrotechnik 16
2. Widerstandsschaltungen
2.1. Serieschaltung von Widerständen
R ges
=
R
1
+ R
2
+ R
3
U
I
U = Quellenspannung [V]
U1..U3 = Teilspannungen [V]
Rges = Gesamtwiderstand [Ω]
R1..R3 = Einzelwiderstände [Ω]
Rges = Gesamtwiderstand [Ω]
U = Quellenspannung [V]
I = Stromstärke [A]
I = I = I =
Rges = U = U1
+ U 2 + U 3
2.2. Parallelschaltung von Widerständen
R ges
=
1
R
1
1
1
+
R
2
1
+
R
3
U = U = U = U
1
1
2
2
I = I + I + I
U
Rges =
I
U = Quellenspannung [V]
U1..U3 = Teilspannungen [V]
I = Gesamtstromstärke [A]
3
1
3
2
I
3

Formelsammlung Elektrotechnik 17
I1..I3 = Teilstromstärken [A]
Rges = Gesamtwiderstand [Ω]
R1..R3 = Einzelwiderstände [Ω]
Parallelschaltung von zwei Widerständen
R ges
R1
⋅ R2
=
R + R
1
2
Rges = Gesamtwiderstand [Ω]
R1..R3 = Einzelwiderstände [Ω]
Parallelschaltung von n-gleichen Widerständen
R ges
R1
=
n
Rges = Gesamtwiderstand [Ω]
R1 = Einzelwiderstand [Ω]
n = Anzahl gleiche R1 [Ω]
2.3. Unbelasteter Spannungsteiler
U
2
R2
= U ⋅
R + R
U2 = Teilspannung [V]
U = Quellenspannung [V]
R1..2 = Teilwiderstände [Ω]
1
2

Formelsammlung Elektrotechnik 18
2.4. Belasteter Spannungsteiler
U
U2 = Teilspannung [V]
U = Quellenspannung [V]
R1..2 = Teilwiderstände [Ω]
Rb = Lastwiderstand [Ω]
2.5. Vorwiderstand
RV = Vorwiderstand [Ω]
U = Quellenspannung [V]
UL = Lastspannung [V]
I = Stromstärke [A]
2.6. Brückenwiderstand
Abgeglichen
2
R2
// Rb
= U ⋅
R + R // R
R
V
1
2
U −U
=
I
L
b
Im abgeglichenen Zustand (R1 und R2
stehen im selben Verhältnis wie R3 und R4)
ist die Spannung über der Brücke 0V!

Formelsammlung Elektrotechnik 19
R 1 3 = R1..4 = Teilwiderstände [Ω]
R
2
R
R
Unabgeglichen
U A,
B
4
= U
R2
R + R
1
2
−U
R4
R + R
UA,B = Brückenspannung [V]
U = Quellenspannung [V]
R1..4 = Teilwiderstände [Ω]
3
4

Formelsammlung Elektrotechnik 20
3. Spannungsquellen
3.1. Reale Spannungsquelle
Ersatzschaltung einer realen Spannungsquelle.
Uq
U = U − R ⋅ I
Klemmenspannung q i L
U U =
Lehrlauf q
Kurzschluss
Belastung
Ri
U
I k =
R
I
q
i
U
U0 Uq = Quellenspannung [V]
U = Klemmenspannung [V]
Ri = Innenwiderstand [Ω]
Ik = Klemmenstrom [A]
RL = Lastwiderstand [Ω]
q
= U RL
I
Ri
+ RL
⋅ =
U
=
U
R
i
q
⋅ R
L
+ R
(Quellenspannung = Urspannung, ETK = Elektromotorische Spannung)
RL
L

Formelsammlung Elektrotechnik 21
Bestimmen des Innenwiderstandes Ri
Bemerkung: Der Ri kann nicht mit dem Ohmmeter gemessen werden.
Durch zwei Belastungszustände lässt sich der Innenwiderstand berechnen.
Uq
Uq
Innenwiderstand
R i
U
=
I
Vereinfachung
Erster Belastungsfall = Lehrlauf
� I1 = 0 U1 = Uq
Innenwiderstand
Ri
Ri
R
i
U
=
1
2
q
I1
I2
−U
− I
I
2
1
−U
2
R1
R2
2
ΔU
=
ΔI

Formelsammlung Elektrotechnik 22
3.2. Spannungsanpassung
Uq
3.3. Stromanpassung
Uq
3.4. Leistungsanpassung
Uq
Ri
Ri
Ri
I1
I1
I1
RL
RL
RL
U
U
U
RL >> Ri
Uq = URi + U
URi = Ri ⋅ I1 ca. 0
U 0 ca.
=
RL

Formelsammlung Elektrotechnik 23
PL gesucht: Bei einer Leistungsanpassung wird
die grösste Leistung entnommen.
U
I +
0 = Ri
RL
P = I ⋅ R
2
L
(η = 50% > Nur kleine Leistungen sinnvoll)
Beispiel Verstärker 8Ω / Lautsprecher 8Ω
3.5. Serieschaltung von Spannungsquellen
Schaltet man Spannungsquellen mit verschiedenen Nennströmen in
Serie, so werden Quellen mit kleineren Nennströmen im Betrieb überlastet
und eventuell zerstört.
Uqges = Gesamturspannung [V]
Uq1..q3 = Teilurspannungen [V]
Riges = Gesamtinnenwiderstand [Ω]
Ri1..3 = Teilinnenwiderstand [Ω]
qges
L
U = U + U + U
iges
q1
q2
q3
R = R + R + R
i1
i2
i3
3.6. Parallelschaltung von Spannungsquellen
Uq1
I1
Ri1
Uq2
I3
Ri2
I2
RL
U
Ri’
Uq’ U’
Ersatz
RL’

Formelsammlung Elektrotechnik 24
Gleiche Quellen
Ri1 = Ri2
U01 = U02
- Spannung bleibt gleich ( U01 = U0´ )
- Der Innenwiderstand wird kleiner.
R = R
'
i
i1
// Ri
2
- Es kann mehr Strom verbraucht werden
I L
= I
1
+ I
2
Ungleiche Spannungsquellen
Lösungssatz
- Überlagerungssatz
- Ersatzspannungsquelle
- Knoten - Maschenregel
3.7. Überlagerungssatz (Helmholtz /Théverin)
Für Netzwerke mit linearen Strom und Spannungsquellen!
Wir betrachten den Einfluss jeder Quelle auf die Gesamtschaltung!
Uq1
Ri1
Uq2
Ri2
RL
Spannungsquelle
= Kurzschluss
Stromquelle
= Unterbruch
Vorgehen
Die anderen Quellen werden
weggelassen.

Formelsammlung Elektrotechnik 25
Uq1
I = I + I
Laststrom L L1
L2
3.8. Ersatzspannungsquelle
Ersatzinnenwiderstand
Spannungsquelle = Kurzschluss
Stromquelle = Unterbruch
Innenwiderstand ( 2 ) 3
Uq
Ri1 Ri2 RL
Ri1
Uq2
R1
Ri2
R i
=
R2
R1
// R + R
R3
IL1
RL
IL2
R
I
U
I
Tot
Tot
R
L1
R
I
U
I
Tot
R
L1
i 2
Tot
RL
i1
=
// R
=
=
U
R
U
// R
=
=
=
R
L
L
U
i2
01
Tot
Ri
2 // RL
U
R
Uq
R
R
Tot
=
L
i1
01
Ri1
// RL
R
=
L
// R
R
R
i2
// R
i1
L
+ R
// R
L
// R
L
L
+ R
i1
⋅ I
i2
⋅ I
Tot
Tot
RL

Formelsammlung Elektrotechnik 26
Ersatzspannungsquelle
Im Leerlauf ist die Quellenspannung gleich der Klemmenspannung.
Uq
Ersatzschaltung
UErsatz
R1
R2
Zur Berechnung schwieriger Schaltungen, welche einen Spannungserzeuger,
feste Widerstände und einen veränderlichen Widerstand haben,
verwendet man als Ersatzschaltung die Ersatzspannungsquelle
oder die Ersatzstromquelle.
3.9. Quellenwandlung
Ersatzspannungsquelle
4V
2Ω
Ri
4Ω
3Ω
UEratz
RL U
RL

Formelsammlung Elektrotechnik 27
UErsatz
'
Ri =
4.
3Ω
U
'
0
=
2.
6V
Umwandlung Spannungsquelle zu Stromquelle
R
I
I
'
i
'
'
=
=
=
I’
4.
3
Kurzschluss
'
U
R
0 2.
6V
= = 0.
615A
= konst.
i
Ω
4.
3Ω
Ri
Ri
RL
RL U
U
U
I
I
=
R
L L
'
0 RL
+ Ri
L
'
= '
Ri
'
Ri
+ R
L

Formelsammlung Elektrotechnik 28
4. Wechselstrom
4.1. Sinuskenngrössen
û
ƒ2
ƒ1
û,Î = Scheitelwert = Spitzenwert = Maximalwert =
Up, Ip (peak) = maximale Amplitude
Upp, Ipp = Spitzen - Spitzenwert
u, i = Momentwert, Augenblickwert, Spannung oder
Strom zu einem beliebigen Zeitpunkt.
In vielen Fällen unterscheiden sich die Anfangsphasen mehrerer
Wechselgrössen voneinander und weisen eine gegenseitige
Phasenverschiebung auf.
ƒ1 = Nacheilung der Sinusspannung
U2 gegen U1 = Winkel negativ
ƒ2 = Voreilung = Winkel positiv
4.2. Momentanwert
Bei gleichförmiger Drehung einer Leiterschleife in einem homogenen
Magnetfeld ändert sich die induzierte Spannung sinusförmig.
Bei bekanntem Scheitelwert û lässt sich der Momentanwert aus dem
Winkel bestimmen.
Leiterschleife
û
u = uˆ
⋅sin
i = Iˆ
⋅sin
( α )
( )
α
Upp
α
t
t

Formelsammlung Elektrotechnik 29
4.3. Frequenz
u
1 Schwingung = 1 Welle = 1 Periode (pos. + neg. Halbwelle)
Frequenz
Zahl der Perioden pro Sekunde!
f
1
s
= [Hz] Hertz
Frequenzbereiche Stromnetz
1kHz = 10 3 Hz NF Schweiz = 50 Hz
1MHz = 10 6 Hz Rundfunk USA = 60 Hz
1GHz = 10 9 Hz Natel / Satellit SBB = 16 1 /3 Hz
SVB = 0 Hz � DC
Periodendauer
u
Periodendauer
positive Halbwelle
5 10
T
T
360°
1
f
= [s]
t [ms]
α [°]
negative Halbwelle
f = 100 MHz
t [ns]

Formelsammlung Elektrotechnik 30
4.4. Kreisfrequenz
u
= uˆ
⋅ sin(
α )
Für α 0° u = 0V
α 90° u = û
α 180° u = 0V
α 270 u = û
α 360° u = 0V
Überlegung (bei f = 1,5kHz)
1
T = = 666 3 μ s = 360°
[ Grad]
= 2π
[
f
Winkelgeschwindigkeit
360°
T
û
α
⎡° ⎤
⎢
⎣s
⎥
⎦
u = uˆ
⋅sin
u = uˆ
⋅sin
2 rad
( ω ⋅t
)
( 2πf
⋅t
)
( t)
u = Iˆ
⋅sin
ω ⋅
2π
⎡rad
T ⎢
⎣ s
⎤
⎥
⎦
= 2πf
= ω
]
= Kreisfrequenz
Mit Hilfe der oben stehenden Kreisfrequenzformeln lässt sich der Momentanwert
von Spannung und Strom nach einer bestimmten Zeit t
bestimmen.
Es ist unbedingt nötig den Rechner, zum berechnen dieser Formeln,
auf Radians zu stellen!!!

Formelsammlung Elektrotechnik 31
4.5. Liniendiagram
U
10V
u
Grad: u = û ⋅ sin (30°)
Radians: u = û ⋅ sin (π/6)
u = û ⋅ sin (2πf ⋅ t)
u = û ⋅ sin (ω ⋅ t)
Besteht eine Phasenverschiebung, so muss der Winkel ebenfalls im
Bezugsmass angegeben werden:
Grad: u2 = û2 ⋅ sin (α + 60°)
Radians: u2 = û2 ⋅ sin (α + π/3)
u2 = û2 ⋅ sin (ω ⋅ t + π/3)
4.6. Zeigerdiagramm
Da die Frequenz bei den meisten Vorgängen konstant ist kann der
Û2
u1 u2
1 2π
90 180 270 360
1 π
/2 π /2π
5 10 15 20
T = 20ms
Ûs
f = 50 Hz T = 1 /f = 20ms
Û1
α [rad]
α [°]
t [ms]
Voreilen � Gegenuhrzeigersinn
(CCW)
ϕ = Phasenverschiebung
Zeiger auch feststehend gedacht werden. Die Resultierende entspricht
der Spannung der Summe von Û1 und Û2.

Formelsammlung Elektrotechnik 32
4.7. Arithmetischer Mittelwert
Sinusgrösse
U
10V
-10V
Der Arithmetische Mittelwert über eine volle Periode einer Sinusgrösse
ist 0! (Kurve ist symmetrisch).
u = 0 ; I = 0 Upp = 20V
Halbwelle
U
10V
+
Up = û = 10V
0.5 1
t
f = 1kHz
T = 1ms
t [ms]

Formelsammlung Elektrotechnik 33
Gesucht wird eine Gleichspannung, die die gleiche Fläche hat wie der
Sinus.
Totale Flaeche
u =
Zeit
u
2
= uˆ
⋅
π
Für eine ganze Periode (2. Halbwelle fehlt) muss der Arithmetische
Mittelwert noch halbiert werden.
Pulsierender Gleichstrom
U
10V
-10V
uˆ
=
Iˆ
=
0.
637
0.
637
⋅uˆ
⋅ Iˆ
4.8. Effektivwert
� Gleichrichterwert
Von besonders grosser, praktischer Bedeutung ist der quadratische
Mittelwert (Effektivwert).
Definition
Der Effektivwert eines Wechselstromes ist der Wert, der in einem Widerstand
die gleiche Wärme erzeugt, wie ein gleich grosser Gleichstrom.
Grund
P = U ⋅ I = I ⋅ R ⋅ I = I 2 ⋅ R � quadratisch
t

Formelsammlung Elektrotechnik 34
I I 2 [A 2 ]
3A
û
û û
DC DC
U eff U = = = = ⇒ =
2
2
2
2
2 2
Effektivwe rt = DC +
Der Effektivwert ist vom
Maximalwert (û) und
dem Scheitelfaktor abhängig.
2 2
AC
Schwingungsformen Scheitelfaktor Fc
Sinus 2 = 1.
414
Dreieck / Sägezahn 3 = 1.
732
Rechteck (symmetrisch) 1 . 00
Im Allgemeinen arbeitet man mit dem Effektivwert (U/I).
Rechtecksignal unsymmetrisch
u
up
ti
9
6
3
T
tp
û
Fsin2 = FDC2
û 2
I 2
FDC2
t
I
U
FDC2
eff
= u
P
⋅
ti
T

Formelsammlung Elektrotechnik 35
Ueff = Effektivwert [V]
uP = Spitzenwert [V]
ti = Impulszeit [s]
T = Periodendauer [s]
4.9. Scheitel und Formfaktor
Scheitelfaktor
Sinus Ks 2
Formfaktor
û
KS = crest
u
u
K f =
[u ]
K f
u
[ u ]
2
û ⋅ 2
π
Sinus = = = 1.
11
4.10. Wellenlänge
c
λ = c ⋅T
= [Lambda]
f
û
c = Ausbreitungsgeschwindigkeit [ m /s]
f = Frequenz [Hz]
λ = Abstand zwischen zwei sich wiederladenden Punkten [m]
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Medium Geschwindigkeit
elektrische Schwingung in freiem Raum v = 300000 km/s
elektrische Schwingung in Leitungen v ≈ 240000 km/s
Schallschwingungen in Luft +20°C v = 343 m/s
Lichtwellen
v = 300000 km/s
Schallwellen in Wasser
v = 1470 m/s
2 ⋅
π
2
=

Formelsammlung Elektrotechnik 36
5. Elektrisches Feld
5.1. Coulomb’sches Gesetz
Gilt nur für kleine Kugeln (Punktladungen)
Q1
⋅Q
F = k ⋅ 2
l
2
F = Kraft, die zwei Körper aufeinander ausüben [N]
Q1,Q2 = Ladungen [As/C]
L = Abstand der Körper [m]
ε0 = elektrische Feldstärke ε0 = 8.85 ⋅ 10 -12 [As/Vm]
εr = Materialkonstante für Luft ≈ 1 [As/Vm]
k = Vom Stoff abhängige Konstante
k =
1
4π
ε ⋅ε
⋅ 0
5.2. Elektrische Feldstärke
r
Erhöht man die Spannung oder verkleinert man den Abstand, so gibt
es einen Punkt, wo die Ladungen gewaltsam ausgetauscht werden.
� elektrischer Durchschlag
ϕ A −ϕ
B U
E = =
l l
AB
ϕ = Potential [V]
UAB = Spannung [V]
L = Abstand [m]
E = elektrische Feldstärke [ V /m]
Andere Einheiten
V kV V
mm m cm
ϕA
UAB
U
ϕB

Formelsammlung Elektrotechnik 37
5.3. Kraft im elektrischen Feld
Kraft auf eine Punktladung
Mechanische Arbeit W = S ⋅ F
Q
W = P ⋅t
= U ⋅ I ⋅t
= u ⋅ ⋅
t
W = U ⋅Q
Elektrische Arbeit t
S ⋅ F = U ⋅Q
U ⋅ Q
F =
S
F = E ⋅Q
r r
Kraft zwischen zwei Platten
Bedingungen: Vakuum, kleiner Abstand, homogenes Feld
2
u 1
F = ⋅ A⋅
ε 2 0 ⋅
d 2
U
F = E ⋅ Q = ⋅Q
d
5.4. Elektrische Flussdichte
Wird die Flussdichte zu gross so kann es zu einem Ladungsaustausch
kommen (Durchschlag).
D nimmt bei abnehmender Fläche zu.
D =
Q
A
E
⎡ As
⎢
⎣m
C
2 2 , m
⎤
⎥
⎦

Formelsammlung Elektrotechnik 38
Zusammenhang
Q
D = � D r E
A
⋅ ⋅ = ε
ε0 = elektrische Feldkonstante
E = elektrische Feldstärke
D = elektrische Flussdichte
ε 0 �
εr = Dielektrizitätszahl [1]
Permetivitätszahl [1]
Beispiele
⎡ ⎤
⎢
⎣Vm⎥
⎦
⎡V
⎤
⎢
⎣m
⎥
⎦
⎡
⎢ 2
⎣
, As C
m m
Elektrotechnik Tabellenbuch Westermann S. 317
ISBN 3-14-225035-2
Stoff Dielektrizitätszahl
Luft 1
Glimmer 6...8
Glas 15...16
Keramik 10000...50000
Poly Styrol 2.6
PC 3
U
E =
d
As (8.86 ⋅ 10 - 12 As/Vm)
2
⎤
⎥
⎦
ε ε ⋅ε
= 0
Permetivität des
Dielektrikums
r

Formelsammlung Elektrotechnik 39
6. Kondensator
6.1. Kapazität
Definition
Ein Kondensator besitzt eine Kapazität von 1F, wenn es bei einer
Spannung von 1V die Ladung 1C (1As) gespeichert hat!
Q =
C
Q
c =
U
Q = Ladung [As]
U = Spannung [V]
C = Kapazität [ As /V, F]
6.2. Plattenkondensator
c =
ε 0
⋅ε
r ⋅ A
d
c = Kapazität [F]
ε0 = elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10 -12 As/Vm
εr = Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
A = Wirksame Oberfläche [m 2 ]
d = Plattenabstand [m]
6.3. Doppelleitung in Luft
c
⋅U
π ⋅ε
=
ln
0 ⋅ε
r ⋅l
( d
r )
c = Kapazität [F]
ε0 = elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10 -12 As/Vm
εr = Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
l = Leiterlänge [m]
d = Leiterabstand [m]
r = Leiterradius [m]

Formelsammlung Elektrotechnik 40
6.4. Koaxialkabel
c =
2π ⋅ε
0 ⋅ε
r ⋅l
ln(
ra
ri)
c = Kapazität [F]
ε0 = elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10 -12 As/Vm
εr = Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
ra = Aussenradius [m]
ri = Innenradius [m]
6.5. Geschichteter Kondensator
c =
( n −1
)
⋅
ε 0
⋅ε
r ⋅ A
d
c = Kapazität [F]
ε0 = elektrische Feldkonstante 8.86 ⋅ 10 -12 As/Vm
εr = Dielektrizitätszahl / Permetivitätszahl
A = Wirksame Oberfläche [m 2 ]
d = Plattenabstand [m]
n = Anzahl Platten
6.6. Energie am Kondensator
1
W = ⋅c
⋅u
2
n Platten
W = Energie [Ws]
C = Kapazität [F]
U = Spannung [V]
2

Formelsammlung Elektrotechnik 41
6.7. Strom und Spannung am Kondensator
Jede Spannungsänderung
erzeugt einen Strom.
Der Strom ist umso grösser,
je steiler die Flanke
ist.
Die Kurvenform des Stromes
lässt sich als Steigung
der Spannung in
jedem Augenblick interpretieren.
I c
ΛU
= c ⋅
Δt
6.8. Zeitkonstante Tau (kapazitiv)
τ =
R ⋅C
τ = Zeitkonstante (Tau) [s]
R = Widerstand [Ω]
C = Kapazität [F]
6.9. Ladevorgang eines Kondensators
U0
IC
t ⎛ − ⎞
⎜ τ
u ⎟
c = U0
⎜
1−
e
⎟
⎟
⎝ ⎠
⎟
t ⎛ − ⎞
⎜ τ ic = I0
⎜
e
⎝ ⎠
R
Uc
Ic
I
0 =
U
R
0
ΔU
Δt
90° Phasenverschiebung. IC eilt vor. sin � cos
UC
t
t

Formelsammlung Elektrotechnik 42
Spannung Strom
U
100%
(U0)
63,2%
Idealer Kondensator an konstantem Strom
I C ⋅ Δt
Δ U = [ ΔU
] = V
C
ΔU = Kondensatorspannungsänderung [V]
IC = konstanter Strom in Ampere [A]
Δt = verstrichene Zeit [s]
C = Kapazität in Farad [F]
6.10. Entladevorgang eines Kondensators
U0
1τ
5τ
R IC
t ⎛ − ⎞
⎜ τ u = ⎟
c U0
⎜
e
⎟
⎟
⎝ ⎠
⎟
t ⎛ − ⎞
⎜ τ ic = −I0
⎜
e
⎝ ⎠
t
I
I
100%
(Imax)
36,8%
UC
0 =
U
R
1τ
0
5τ
t

Formelsammlung Elektrotechnik 43
Spannung Strom
U
100%
(U0)
36,8%
1τ
6.11. Kapazitiver Blindwiderstander xC
Kondensator im Wechselstromkreis:
- Der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.
- Der Strom ist ebenfalls sinusförmig!
Da der Strom und die Spannung nicht mehr Phasengleich sind, darf
man den Widerstand nicht mehr mit R bezeichnen!
~ UC
i
5τ
x C
36,8%
100%
(Imax)
xc = Kapazitiver Widerstand [Ω]
f = Frequenz [Hz]
c = Kapazität [F]
ω = Kreisfrequenz [ 1 /s]
t
I
1τ
1 1
= =
2πf
⋅c
ω ⋅c
5τ
t

Formelsammlung Elektrotechnik 44
6.12. Blindleistung
Im idealen Kondensator wird die gespeicherte Energie wieder vollständig
abgegeben. Die Energie (Leistung) pendelt zwischen dem Kondensator
und dem Generator
~ UC
Q = U ⋅
Q = Blindleistung [var] Volt-Ampere-Reaktif
U = Spannung [V]
I = Strom [A]
6.13. Realer Kondensator
In jedem Kondensator treten Verluste auf. Der Widerstand des Dielektrikums
ist endlich gross. Die Dipole ändern beim Anlegen einer
Wechselspannung dauernd die Richtung.
Beides bewirkt die Erwärmung des Dielektrikums (Verluste). Die Verluste
werden durch einen Verlustwiderstand parallel zum Kondensator
dargestellt.
i
G = Wirkleitwert, Konduktanz
BC = Blindleitwert, Suszeptanz
y = Scheinleitwert, Admittanz
Verlustwinkel ⎟ ⎛ G ⎞
δ = arctan
⎜
⎝ B
⎟
C ⎠
⎟
⎛ x ⎞ C
δ = arctan ⎜
⎝ R
⎟
P ⎠
⎟
⎛ i ⎞ R
δ = arctan
⎜
⎝ iC
⎠
Verlustfaktor d = tan(
δ )
i
I
Realer C
iR
iC
RP
C

Formelsammlung Elektrotechnik 45
Gütefaktor
1
1
Q
d
1
=
( )
C
Q = = = cot g δ = =
d tan(
δ )
iR
i
R
x
P
C

Formelsammlung Elektrotechnik 46
7. Kondensatorschaltungen
7.1. Parallelschaltung
C ges
= C + C + C [ C]
=
1
2
Cges = Gesamtkapazität [F]
C1..C3 = Teilkapazitäten [F]
U = U = U = U [ U ] = V
1
2
U = Gesamtspannung [V]
U1..U3 = Teilspannungen [V]
Q ges
3
3
F
= Q + Q + Q [ Q]
= C
1
2
Qges = Gesamtladung [C; As]
Q1..Q3 = Teilladungen [C; As]
7.2. Reihenschaltung
Q ges
= Q = Q = Q [ Q]
= C
1
2
Qges = Gesamtladung [C; As]
Q1..Q3 = Teilladungen [C; As]
Q
U 1 = [ U ] = V
C
1
U1 = Teilspannung [V]
Q = Elektrische Ladung [C; As]
C1 = Teilkapazität [F]
U = U + U + U [ U ] = V
1
2
U = Gesamtspannung [V]
3
3
3

Formelsammlung Elektrotechnik 47
U1..U3 = Teilspannungen [V]
C ges
1
= [ C]
=
1 1 1
+ +
C C C
1
2
Cges = Gesamtkapazität [F]
C1..C3 = Teilkapazitäten [F]
7.3. Gemischte Schaltungen
C ges
C ges
1
=
1
+
C C
= C
1
+
2
2
1
+ C
1
1 1 1
C
+
C
Cges = Gesamtkapazität [F]
C1..C3 = Teilkapazitäten [F]
3
3
7.4. Kapazitiver Spannungsteiler
3
1
F
U = U + U
U
U
1
2
C
=
C
2
1
2
x
=
x
C1
C 2
C1..C3 = Teilkapazitäten [F]
xCges = Gesamtblindwiderstand [Ω]
xC1, xC2 = Teilblindwiderstände [Ω]
C ges
C =
2 ⋅
U 2
U
U
⋅
xCges = xC
2
U 2

Formelsammlung Elektrotechnik 48
8. Magnetismus
8.1. Magnetische Flussdichte
Die Magnetische Flussdichte gibt an, wie stark der Raum an einer bestimmten
Stelle vom Magnetfeld durchsetzt ist.
Magnetische Flussdichte in Vakuum oder Luft.
B = μ 0 ⋅
H
Magnetische Flussdichte mit beliebigem Kernmaterial.
B r H ⋅ ⋅ = μ
μ 0
B = Magnetische Flussdichte (Induktion) [T] [Vs/m 2 ] Tesla
H = Magnetische Feldstärke [A/m]
μ0 = Magnetische Feldkonstante 1,257 ⋅ 10 -6
μr = Permeabilitätszahl
Grössenordnungen von magnetischen Flussdichten
Magnetfeld der Erde Ca. 0.00005T
Feld eines geraden Leiters (100A) Ca. 0.00025T
Eisenfreie Spule (N = 500 ; I = 2A) Ca. 0.02T
Permanentmagnet Ca. 0.1T
Starker Elektromagnet Ca. 100T

Formelsammlung Elektrotechnik 49
8.2. Magnetischer Fluss
(vergl. Strom als Produkt von Stromdichte und Leiterquerschnitt)
Magnetischer Fluss Φ = B ⋅ A
Φ = Magnetischer Fluss [wb] Weber
B = Magnetische Flussdichte [T]
A = Fläche [m 2 ]
8.3. Magnetische Durchflutung
Man kann mit wenig Windungen und grosser Stromstärke die gleiche
magnetische Flussdichte erzeugen, wie mit vielen Windungen und
kleiner Stromstärke.
Magnetische Durchflutung Θ = N ⋅ I
Θ = Magnetische Durchflutung [Aw] Ampèrewindungen
I = Strom [A]
N = Windungen
8.4. Magnetische Feldstärke
Die magnetische Feldstärke ist die magnetische Durchflutung bezogen
auf die Feldlinienlänge.
Magnetische Feldstärke
H
N ⋅ I Θ
= =
l l
H = Magnetische Feldstärke [Aw/m]
lm = Mittlere Feldlinienlänge [m]
Θ = Magnetische Durchflutung [Aw] Ampèrewindungen
I = Strom [A]
N = Windungen
m
m

Formelsammlung Elektrotechnik 50
8.5. Mittlere Feldlinienlänge
Einige Beispiele zur vereinfachten Bestimmung der mittleren Feldlinienlänge:
8.6. Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises
Rm
=
Θ
Φ
Rm = Magnetischer Widerstand [A/Vs]
Θ = Magnetische Durchflutung [Aw]
Φ = Magnetischer Fluss [wb] Weber
8.7. Magnetischer Widerstand
Magnetischer Widerstand
Magnetischer Leitwert
l
l = Spulenlänge l = Kernlänge
l = mittlere Kernlänge
R
m
=
μ 0
1
Λ =
R
Rm = Magnetischer Widerstand [A/Vs]
l
m
l = mittlere Luftspaltbreite
lm
⋅ μ ⋅ A
=
r
μ 0
⋅ μr
⋅ A
l
m
l

Formelsammlung Elektrotechnik 51
Δ = Magnetischer Leitwert [Vs/A]
lm = Mittlere Feldlinienlänge [m]
A = Kernquerschnitt [m 2 ]
μ0 = Magnetische Feldkonstante 1,257 ⋅ 10 -6
μr = Permeabilitätszahl
8.8. Kraft auf ferromagnetische Stoffe
Magnetfeld von Magneten und ferromagnetischen
Stoffen.
2
F = 40 ⋅ B ⋅ A
F = Kraft [N]
B = Magn. Flussdichte [T]
A = Fläche [cm 2 ]
8.9. Ablenkkraft / Lorenzkraft
Stromdurchflossene Leiter werden im Magnetfeld abgelenkt. Das Magnetfeld
des Stromes schwächt auf der einen Seite des Leiters das Feld
des Magneten, während es auf der anderen Seite dieses Feld verstärkt.
Der stormdurchflossene Leiter wird daher von der Stelle grosser Flussdichte
zu der Stelle kleiner Flussdichte verdrängt.
Ablenkungskraft F = B ⋅l
⋅ N ⋅ I
F = Ablenkungskraft [N]
B = Induktion [T]
l = Länge [m]
N = Windungszahl [1]
I = Strom [A]

Formelsammlung Elektrotechnik 52
8.10. Linke und rechte Handregel
8.11. Induktionsgesetz
Rechte Handregel
Man hält die rechte Hand so, dass unsere
Finger in Richtung des Stromes in den einzelnen
Windungen zeigen. Dann zeigt der Daumen
zum Nordpol der Spule
Linke Handregel
Mit Hilfe der linken Handregel (Motorregel),
lässt sich die Ablenkungsrichtung eines stromdurchflossenen
Leiters aufgrund der Lorenzkraft
bestimmen.
Man halte die linke Hand so, dass die Feldlinien
in die Handfläche eintreten. Die Finger
zeigen die Stromrichtung an. Der Daumen
zeigt die Bewegungsrichtung des Leiters an.
Bewegt man eine Leiterschleife durch das magnetische Feld einer
Feldspule oder eines Dauermagneten ändert sich der magnetische
Fluss der Leiterschleife, wodurch eine Spannung induziert wird.
Die Grösse der induzierten Spannung ist proportional der Windungszahl
der Induktionsspule und der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen
Flusses.
Induktionsgesetz
U Ind
ΔΦ
= −N
⋅
Δt
UInd = induzierte Spannung [V]
N = Windungszahl der Induktionsspule [1]
ΔΦ = Flussänderung [wb]
Δt = Zeit [s]
ΔΦ/Δt = Flussänderungsgeschwindigkeit [wb/s]

Formelsammlung Elektrotechnik 53
Bei elektrischen Maschinen
Liegt eine Spule vollständig im Magnetfeld und bewegt sich quer zu
demselben (Drehspule), so wird in jeder Wicklungshälfte eine Spannung
gemäss folgender Formel induziert.
Induktionsgesetz = −N
⋅ B ⋅l
⋅V
U Ind
UInd = induzierte Spannung [V]
B = magnetische Flussdichte [T]
l = wirksame Leiterlänge [m]
V = Geschwindigkeit [m/s]
N = Windungszahl der Induktionsspule [1]
Wird der Leiter entlang d. h. in Richtung der Feldlinien bewegt, so ergibt
sich keine Änderung des Flusses, somit wird auch keine Spannung
induziert.
8.12. Generatorregel
Die Richtung der induzierten Spannung hängt von der Bewegungsrichtung
der Leiterschleife und von der Richtung des Magnetfeldes ab.
Mit Hilfe der Generatorregel, oder auch Rechte - Hand - Regel genannt,
lässt sich die Strom - und somit auch die Spannungsrichtung
bestimmen. Hält man die rechte Hand so, dass die magnetischen Feldlinien
in die Handfläche treten, der Daumen die Bewegungsrichtung
anzeigt, so zeigen die Finger die Stromrichtung an.
8.13. Transformatorprinzip (Induktion der Ruhe)
(Fluss der sich ändert)
φ + Δφ
Elektrisches
Feld E
Ein Fluss, der sich ändert, ist immer
von einem elektrischen Feld
(Wirbelfeld) umgeben.
Ein elektrisches Feld übt auf Ladungen
Kräfte aus. Positive Ladungen
werden dabei in Richtung
des Feldes, negative in entgegengesetzter
Richtung verschoben.

Formelsammlung Elektrotechnik 54
(Fluss der sich ändert)
φ + Δφ
8.14. Lenzsche Regel
Das Feld verursacht also in
elektrischen Leitern Ladungsverschiebungen
bzw. - Trennung
und damit elektrische
Spannung. Da dieses Prinzip
beim Transformator verwendet,
nennt man es auch Transformatorprinzip.
Der induzierte Strom ist stets so gerichtet, dass er eine Bremskraft
verursacht, welche dem Bewegungsvorgang entgegenwirkt.
(Hätte z. B. der Induktionsstrom die gleiche Wirkung, so ergäbe sich
eine zusätzliche Flusszunahme und der Generator würde sich selber
antreiben!)
8.15. Selbstinduktion
Die Selbstinduktionsspannung ist stets so gerichtet, dass sie der Änderung
des Stromes entgegenwirkt.
Selbstinduktionsspannung
U S
ΔI
= −L
⋅
Δt
US = Selbstinduktionsspannung [V]
L = Induktivität [H, Henri]
ΔI = Stromänderung [A]
Δt = Zeitänderung [s]
Anwendungen
Elektrisches
Feld E
Ladungsbewegung
V
Zündung beim Auto, Mofa (Zündspule, Unterbrecher, Zündkerze)
Leuchtstofflampen � Starter
Feuerzeuge

Formelsammlung Elektrotechnik 55
Nachteil
Funkensprung bei Schaltern (Abhilfe Freilaufdiode)
8.16. Kopplungsfaktor k
Bei zwei gekoppelten Spulen geht immer nur ein Teilfluss Φ1,2 des
Gesamtflusses Φ1, der durch die einte Spule erzeugt wird, durch die
andere Spule. Der Rest geht als Streufluss ΦS neben der sekundären
Spule vorbei. Man berücksichtigt dies mit dem Kopplungsfaktor k, der
das Verhältnis zwischen Φ1,2 und Φ1 angibt:
Kopplungsfaktor
k
=
Φ
Φ
1,
2
Φ1 = Erregerfluss primäre Spule [wb]
Φ1,2 = Fluss sekundäre Spule [wb]
k = Kopplungsfaktor k ≤ 1 oder in %
1
Bei Netztrafos und Übertragern mit geschlossenem Eisenkern beträgt k
etwa 99%. Bei gekoppelten Luftspulen von Bandfiltern nur etwa 50%.
Der Kopplungsfaktor k kann als Wirkungsgrad der Magnetischen Kopplung
zwischen zwei Spulen angesehen werden.
8.17. Gegeninduktivität M
M berücksichtigt die zwei Induktivitäten L1 und L2 und damit auch die
Windungszahlen N1 und N2 sowie die magnetische Kopplung k
zwischen den beiden Spulen.
L k M ⋅ ⋅ =
Gegeninduktivität 2
1 L
L1 ; L2 = Induktivität der Spule 1 bzw. 2 [H]
k = Kopplungsfaktor [1]
M = Gegeninduktivität [1]

Formelsammlung Elektrotechnik 56
8.18. Induktion bei gekoppelten Spulen
Mit Hilfe der Gegeninduktivität M lässt sich U2, die in der sekundären
Spule induzierte Spannung, bei zwei magnetisch gekoppelten Spulen
berechnen.
Induzierte Spannung
U
ΔJ
= −M
⋅
Δt
U = ω M ⋅ J
1
2 2
1
U2 = Induzierte Spannung sekundäre Spule [V]
ΔI/Δt = Stromänderung primäre Spule [A/s]
M = Gegeninduktivität [1]
ωM = Blindwiderstand der Gegeninduktivität [Ω]
8.19. Streufaktor σ
Der Streufaktor σ (sigma) ist ein Mass für den Kraftlinienvverlust durch
die magnetische Streuung.
Φ
σ = 1
Φ
S
Streufaktor = − k
Φ1 = Erregerfluss primäre Spule [wb]
ΦS = Streufluss [wb]
k = Kopplungsfaktor [1]
σ = Streufaktor [1]
1
8.20. Spannungsübersetzung im Transformator
Transformatoren und Übertrager benuetzen induktiv gekoppelte Spulen
zur übertragung von Spannung, Leistung und Energie.
Spannungsübersetzung
U
U
2 0
1
k
L
2 = ⋅ im Leerlauf!
L1

Formelsammlung Elektrotechnik 57
Fuer einen Trafo ist k ≈ 1.
Aufgrund des gemeinsamen Eisenkernes
sind auch die magnetischen Eigenschaften μ, A, lm und somit Rm für
beide Spulen gleich.
2
N1
L 1 = und
R
m1
N
Spannungsübersetzung
L N
= �
2
2
L 2 = 2
Rm2
�
2
L1
2
2
N1
1
L 2 =
L
1
N
N
U 2 N
0 2 = im Leerlauf!
U2 0 = Sekundär Spannung (Leerlauf) [V]
U1 = Primär Spannung [V]
L2 = Induktivität sekundäre Spule [H]
L1 = Induktivität primäre Spule [H]
N2 = Windungszahl sekundäre Spule [1]
N1 = Windungszahl primäre Spule [1]
k = Kopplungsfaktor [1]
8.21. Gesamtinduktivität gekoppelter Spulen
U
1
Sind zwei Spulen oder Induktivitäten magnetisch gekoppelt, so erzeugt
jede Spule ein Magnetfeld, das die andere Spule durchsetzt. Sind
beide beide Felder gleichgerichtet, so verstärken sie sich und die
Gesamtinduktivität wird erhöht. Sind sie entgegengesetzt gerichtet, so
schwächen sie sich und die Gesamtinduktivität wird kleiner.
Bei gleichgerichteten Magnetfeldern = L + L + 2M
N
L Tot
Bei entgegengesetzten Magnetfeldern = L + L − 2M
Symbolik
*
*
L Tot
Der Punkt gibt den Wicklungssinn an.
* Megnetfeldlinien
1
1
2
2
2
1

Formelsammlung Elektrotechnik 58
8.22. Transformatorhauptgleichung
Diese Gleichung gilt für jede Wicklung des festgekoppelten,
verlustfreien Transformators.
U IND
= 4. 44 ⋅ N ⋅ f ⋅ A⋅
Bˆ
N = Windungszahl [1]
F = Frequenz [Hz]
A = Kernquerschnitt [m 2 ]
B = Magnetische Flussdichte (Induktion) [T] Tesla
8.23. Kernarten bei Kleintransformatoren
Um Wirbelströme zu vermeiden, werden die Trafokerne aus Eisenblech,
welches einseitig isoliert ist, gefertigt. (Dicke: 0.35mm)
� mit SI legiert (bis 4%)
8.24. Eisenfüllfaktor
Die Bleche werden mit isolierten Bolzen zusammengepresst.
A = AFE
⋅k
FE
kFE = Eisenfüllfaktor (0.95 ... 0.99)
8.25. Windungsspannung
Spannung zwischen aufeinander folgenden Wicklungen.
Beispiel: U = 300V N = 120 Windungen
Windungsspannung
U
UW = = 2.5V
N

Formelsammlung Elektrotechnik 59
8.26. Lagenspannung
Spannung zwischen zwei übereinander liegenden Lagen.
Beispiel: U = 300V 3 Lagen
U
=
Lagen
Lagenspannung U L ⋅ 2 = 200V
200V
3. Lage
2. Lage
1. Lage
8.27. Idealer Transformator
Beim idealen Transformator treten keinerlei Verluste auf. Magnetische
Kopplung k = 1 (kein Streufluss).
Lehrlaufspannung für Sinus:
U = 4.
44 ⋅ f ⋅ Bˆ
⋅ A⋅
N
0
N = Windungszahl [1]
F = Frequenz [Hz]
A = Kernquerschnitt [m 2 ]
B = Magnetische Flussdichte (Induktion) [T] Tesla
Spannungsübersetzung
U
1 ü = =
U 2
0V 100V
N
N
1
2
U1 = Primärspannung [V]
U2 = Sekundärsapnnung [V]
Beim idealen Transformator sind die Scheinleistungen S1 u. S2
gleichgross, daraus folgt.

Formelsammlung Elektrotechnik 60
S 1 = S2
U1 ⋅ I1
= U 2 ⋅ I2
I1 U 2 N2
1
= = =
I U N ü
2
1
1
Eingangsimpedanz (Primärimpedanz)
=
⋅
⎛
= ⎜
⎝
N
⎞
⎟
⎠
2
1
Z1 ü Z2
⎜ ⋅
N ⎟
2
2
Z
2
Z1 = Eingangsimpedanz (Primärimpedanz) [Ω]
Z2 = Ausgangsimpedanz (Sekundärimpedanz) [Ω]
ü = Spannungsübersetzungsfaktor [1]
8.28. Realer Transformator
Durch den Kupferwiderstand, den Streufluss, Magnetisierungskurve,
usw. weicht der reale Transformator teilweise stark vom idealen
Transformator ab.
Beim realen Transformator ist k < 1 (Streufluss):
N
N
2
Sekundärspannung U = U ⋅ ⋅ k
U1 = Primärspannung [V]
U2 = Sekundärsapnnung [V]
N1 = Windungszahl (primärseite) [1]
N2 = Windungszahl (sekundärseite) [1]
k = Kopplungsfaktor (magn. Wirkungsgrad) [1]
2
Bei Leistungstrafos und Übertragern ohne Luftspalt ist k ≈ 1!
1
1

Formelsammlung Elektrotechnik 61
8.29. Spartransformator
Beim Spartransformator sind zwei
Wicklungsteile, die Parallelwicklung und die
Reihenwicklung, hintereinandergeschaltet
Bild 1. Unterspannungswicklung ist die
Parallelwicklung. Oberspannungswicklung
ist die Reihenschaltung von Reihenwicklung
und Parallelwicklung. Bei
Spartransformatoren ist die
Eingangswicklung leitend mit der
Ausgangswicklung verbunden.

Formelsammlung Elektrotechnik 62
9. Spule
9.1. Induktivität
Eine Spule hat eine Induktivität von 1H, wenn eine gleichmässige
Stromerhöhung von 1A je Sekunde in ihr die Spannung 1V induziert.
Induktivität
L =
N
2
2
⋅ μ ⋅ A N
=
l Rm
m
[H, Henri]
Lässt sich aus den geometrischen Grössen und dem Material für die
Spule Berechnen:
N ⋅Φ
L =
I
L = Induktivität [H]
N = Windungszahl [1]
lm = mittlere Feldlinienlänge [m]
Rm = magnetischer Widerstand [A/Vs]
Φ = Magnetischer Fluss [wb] Weber
A = Querschnitt [m 2 ]
μ = Permeabilität [Vs/Am] μr ⋅ μ0
9.2. Spulenkonstante AL
L =
N
2
2
L = N ⋅
⋅ μ ⋅ A
l
m
AL
AL = Spulenkonstante
L = Induktivität [H]
N = Windungszahl [1]
lm = mittlere Feldlinienlänge [m]
A = Querschnitt [m 2 ]
μ = Permeabilität [Vs/Am] μr ⋅ μ0

Formelsammlung Elektrotechnik 63
9.3. Ringkernspule (Toroid)
9.4. Einlagige Zylinderluftspule
D
K = Korrekturfaktor
l
L = N
2
μr
⋅ A
⋅
l ⋅80
m
0 ⋅ A
L = N ⋅ ⋅ K
l
2 μ
9.5. Energie des magnetischen Feldes
[ μ H ]
Das Abschalten einer Spule im Gleichstrom zeigt, dass der Strom
noch eine Weile fliesst.
Im magnetischen Feld einer Spule ist Energie gespeichert.
ω =
L ⋅ I
2
2
l
A
lm
ω = Energie des elektrischen Feldes [Ws]
L = Induktivität [H]
I = Strom [A]
D

Formelsammlung Elektrotechnik 64
9.6. Zeitkonstante Tau (induktiv)
Zeitkonstante
L
=
R
τ [s]
L = Induktivität [H]
R = Widerstand [Ω]
- Der Endstrom ist jeweils nach 5τ fast erreicht
- Die Stromstärke hat nach t = τ 63% des Endwertes erreicht.
9.7. Einschaltverhalten einer Spule
Uq
u
L
t
−
τ = UQ
⋅e
⎟ t ⎛ − ⎞
⎜ τ i = I0
⎜
1−
e
⎝ ⎠
Spannung Strom
U
100%
(U0)
36,8%
U
1τ
i
UR
UL
5τ
t
I
100%
(Imax)
63,2%
I =
0
U
R
1τ
Q
V
5τ
t

Formelsammlung Elektrotechnik 65
9.8. Abschaltverhalten einer Spule
Uq
t
−
τ i = I0
⎟ t
−
= − ⎜ τ u L U e
⎛
⎜
e
⎝
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
I =
0
Spannung Strom
36,8%
100%
(Us)
U
U
1τ
i
UR
9.9. Induktiver Blindwiderstand
Der Widerstand der Spule steigt mit der Frequenz.
UL
5τ
t
Aufgrund der Selbstinduktionsspannung steigt der Strom nur langsam
an! Wird die Stromänderung schnell durchgeführt (= grössere Frequenz),
so kann er seinen Endwert nicht erreichen (� grösserer Widerstand).
I
100%
(Imax)
36,8%
U
R
Q
V
1
5
t

Formelsammlung Elektrotechnik 66
Für sinusförmigen Strom
Blindwiderstand = 2 πf
⋅ L = ω ⋅ L
x L
ω = Kreisfrequenz [1/s; Hz]
L = Induktivität [H]
f = Frequenz [Hz]
xL = Blindwiderstand [Ω]
Bei der idealen Spule eilt die Spannung dem Strom um 90° voraus.
9.10. Scheinwiderstand/Impedanz (Induktivität)
Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist erheblich grösser als der
Gleichstromwiderstand.
Infolge der dauernden Flussänderung im Wechselstromkreis tritt dauernd
eine Selbstinduktionsspannung gegenphasig zur angelegten
Spannung auf.
Der Strom wird von der Selbstinduktionsspannung beeinflusst. Die
strombegrenzende Wirkung heisst induktiver Widerstand.
Scheinwiderstand / Impedanz
Z = Scheinwiderstand / Impedanz [Ω]
U = Wechselspannung [V]
J = Wechselstrom [A]
9.11. Induktive Blindleistung
U
Z = [Z] = Ω
J
Zum Aufbau des Magnetfeldes wird Energie benötigt. Die Energie wird
beim Abbau wieder frei. Bei einer idealen Spule pendelt daher die Leistung,
ähnlich wie beim Kondensator, hin und her. Beide Halbwellen
sind gleich gross! Mittelwert ist gleich Null!

Formelsammlung Elektrotechnik 67
Q = U ⋅ J
2
L 2
= = J ⋅
xL
Induktive Blindleistung L L L
L L
Q = Induktive Blindleistung [var]
UL = Spulenspannung (~) [V]
JL = Spulenstrom (~) [A]
xL = Induktiver Blindwiderstand [Ω]
Die aufgenommene Energie ist im Magnetfeld gespeichert! Wird das
Magnetfeld abgebaut (Strom kleiner) so wird die gespeicherte Energie
ins Netz zurückgeschoben.
9.12. Reale Spule
Eine ideale, d.h. verlustfreie Sule gibt es nicht. in jeder Spue treten
Verluste auf, di sich in einer mehr oder weniger starken Erwärmung
von Wicklung und Eisenkern äusssern.
Wicklungsverluste
PCU
Wirbelstromverluste
PWirbel
Hystereseverluste
PHysterese
Verlustwinkel
δ = 90°
−ϕ
δ = tan
−1
⎛
⎜
⎝U
⎞
⎟ = tan
⎠
⎛ R ⎞
⎜
⎟ = tan
⎝ xL
⎠
U R
−1
−1
L
L
U
⎛
⎜
⎝
P
Q
L
I
U
⎞
⎟
⎠
R
L
x
U
UR
UL
ϕ
UR
δ
UL

Formelsammlung Elektrotechnik 68
Verlustfaktor
tan δ
P
Q
1
Q
( ) = = = d
Gütefaktor
L
xL
U L QL
1
1
Q = = = = = tan(
ϕ)
=
R U P tan
d
R
( δ )
Q = Gütefaktor [1]
d = Verlustfaktor [1]
P = Wirkleistung [W]
S = Scheinleistung [VA]
QL = Induktive Blindleistung [var]
δ = Verlustwinkel [°]
ϕ = Phasenverschiebung [°]

Formelsammlung Elektrotechnik 69
10. Spulenschaltungen
10.1. Serieschaltung von Induktivitäten
L1
L2
L S
=
L
1
+ L
10.2. Parallelschaltung von Induktivitäten
L1
Bemerkung
Ls
L2
1
L p
1
2
1 1
= +
L L
Die beiden Gesetze (Kap. 79, 80) gelten nur, wenn die Spulen unabhängig
voneinander sind (magnetisch nicht gekoppelt).
2

Formelsammlung Elektrotechnik 70
11. Schaltungen mit R, xC und xL
11.1. RC-Serieschaltung
i
UR
Spannungsdreieck
2 2
R C U U U + = ⎟ ⎛U
⎞ C
ϕ = arctan ⎜
⎝U
R ⎠
U = Gesamtspannung [V]
UR = Spannung am Widerstand [V]
UC = Spannung im Kondensator [V]
Widerstandsdreieck
2
Z = R +
x
2
C
R = Wirkwiderstand [Ω]
xC = Blindwiderstand [Ω]
Z = Impedanz [Ω]
Leistungsdreieck
S +
U ~
UC
⎛ Q ⎞
2 2
= P Q ϕ = arctan⎜
⎟
⎝ P ⎠
P = Wirkleistung [W]
Q = Blindleistung [var]
S = Scheinleistung [VA]
ϕ
U
ϕ
U
ϕ
UR
S
UR
P
UC
UC
Q

Formelsammlung Elektrotechnik 71
11.2. Leistungen der RC - Serieschaltung
Wirkleistung
Die Multiplikation der Augenblickwerte (Momentanwerte) von u und i
führen zur Leistungskurve. Es treten positive und negative Leistungen
auf, die aber nicht gleich gross sind. Sie hat die doppelte Frequenz und
ist wiederum eine Sinuskurve.
Wirkleistung
P R ⋅
2
= U ⋅i
= R i [W]
Die Leistung wird im Widerstand in Wärme umgesetzt.
Blindleistung
Diese Leistung pendelt zwischen dem Kondensator und dem Generator
hin und her!
Blindleistung
Scheinleistung
2
Q = U C ⋅i
= xC
⋅i
[var]
Es ist eine rein rechnerische Grösse! Sie hat keine Bedeutung so wie
Q und P!
Scheinleistung
S ⋅
11.3. Leistungsfaktor cos(ϕ)
2
= U ⋅i
= Z i
[VA]
Der Leistungsfaktor gibt an, wie viel der Scheinleistung S als Wirkleistung
P umgesetzt wird.
Leistungsfaktor cos ( ϕ )
=
P
S
S = Scheinleistung [VA]
P = Wirkleistung [W]
ϕ = Phasenverschiebung [°]

Formelsammlung Elektrotechnik 72
11.4. RC-Parallelschaltung
U ~ R
Stromdreieck
i = i + i
2
R
2
C
i = Gesamtstrom [A]
iR = Strom durch R [A]
iC = Strom durch C [A]
Leitwertdreieck
U U U = =
Bei der Parallelschaltung verhalten sich die Teilströme wie die Leitwerte
der Widerstände:
2
y = G +
i
tan( ϕ ) =
i
C
R
B
2
C
BC
=
G
=
1/
xC
1/
R
=
R
x
G = Wirkleitwert (Konduktanz) [1/R]
BC = Blindleitwert (Suszeptanz) [1/xC]
y = Scheinleitwert, Admittanz [1/Z]
Widerstandsdreieck
Z
=
i
x
R
C
2
⋅ R
+ x
2
C
iR
iC
xC
C
R
xC
C
ϕ
Z
y
i
iR
G
R
2 2
xC + R
iC
u
BC

Formelsammlung Elektrotechnik 73
xC = kapazitiver Blindwiderstand [Ω]
R = Wirkwiderstand [Ω]
Z = Impedanz [Ω]
Leistungsdreieck
2
S = P + Q
2
S = Scheinleistung [VA]
P = Wirkleistung [W]
Q = Blindleistung [var]
11.5. Umrechnung Serie - und Parallelschaltung
Serie � Parallel
R
x
P
P
2 2
RS
+ xS
2
= RP = RS
( 1+
Q )
R
S
2 2
RS
+ xS
⎛ 1 ⎞
= xP = xS
⎜1+
⎟ 2
xS
⎝ Q ⎠
Parallel � Serie
R
S
R
R
P
2
P
⋅ x
+ x
2
P
2
P
x
S
R
=
R
2
P
2
P
⋅ x
+ x
Q = Blindleistung [var]
RS = Widerstand Serienschaltung [Ω]
xS = Blindwiderstand Serienschaltung [Ω]
RP = Widerstand Parallelschaltung [Ω]
xP = Blindwiderstand Parallelschaltung [Ω]
P
2
P
RS
ϕ
xC
S
P
RP
Serie Parallel
QC
xC

Formelsammlung Elektrotechnik 74
11.6. Frequenzkompensierter Spannungsteiler
Damit das Verhältnis von Ua und Ue unabhänig von der Frequenz
bleibt, gilt:
R 1 Z1
=
R2
Z 2
Durch Einsetzen der Impedanzen Z1
und Z2 ergibt sich folgende Formel:
Widerstand-Kondensatorverhältnis
R 1 C2
=
R2
C1
Wenn das Verhältnis
R 1 C2
= gewählt wird, so werden die
R2
C1
Spannungen Ue und Ua unabhängig von der Frequenz in ein
konstantes Verhältnis (Ue/Ua = konst.) aufgeteilt.
Anwendungen
Abgleichen einer KO-Sonde.
Die Eingangs-Kapazität des KO’s wird durch die veränderbare Kapazität
der Sonde kompensiert.
11.7. RL-Serieschaltung
i
R L
UR
U
UL
Ue
C1
C2
R1
Z1
R2
Z2
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 75
Spannungsdreieck
U
U
U
R
L
=
=
=
U
2
R
U
U
+ U
2
2
2
L
−U
−U
⎛U
ϕ = arctan ⎜
⎝U
L
R
2
L
2
R
⎞
⎟
⎠
= U ⋅cos(
ϕ)
= U ⋅sin(
ϕ)
ULp = Scheitelspulenspannung [V]
URp = Scheitelwiderstandsspannung [V]
U = Angelegte Spannung [V]
UL = Spulenspannung [V]
UR = Widerstandsspannung [V]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
Widerstandsdreieck
U
Z = =
i
2 2
R + xL
U R R = =
i
2 2
Z − xL
= Z ⋅cos(
ϕ)
U L xL
= =
i
2 2
Z − R = Z ⋅sin(
ϕ)
⎛
ϕ = arctan⎜
⎝
xL R
⎞
⎟
⎠
U = Angelegte Spannung [V]
UL = Spulenspannung [V]
UR = Widerstandsspannung [V]
i = Strom [A]
R = Widerstand [Ω]
U
ϕ
Z
ϕ
UR
R
UL
xL

Formelsammlung Elektrotechnik 76
xL = Induktiver Blindwiderstand [Ω]
Z = Scheinwiderstand - Impedanz [Ω]
Leistungsdreieck
2
U 2
S = U ⋅i
= = i ⋅ Z
Z
S = U ⋅i
=
P = U
Q = U
R
L
⋅i
=
⋅i
=
P
2
S
S
Leistungsfaktor
cos(ϕ )
+ Q
2
2
2
− Q
− P
P U R = = =
S U
2
2
R
Z
= S ⋅cos(
ϕ)
= S ⋅sin(
ϕ)
U = Angelegte Spannung [V]
UL = Spulenspannung [V]
UR = Widerstandsspannung [V]
i = Strom [A]
S = Scheinleistung [VA]
Q = Induktive Blindleistung [var]
P = Wirkleistung [W]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
11.8. RL-Parallelschaltung
i
iR
U ~ R
iL
L
i
R
i =
=
U
R
U
Z
i
L
=
U
x
L
S
ϕ
P
QL

Formelsammlung Elektrotechnik 77
Stromdreieck
i =
i
i
R
L
=
=
i
2
R
i
i
+ i
2
2
2
L
− i
− i
2
L
2
R
⎛ i
ϕ = arctan ⎜
⎝ i
= i ⋅cos(
ϕ)
= i ⋅sin(
ϕ)
L
R
⎞
⎟
⎠
i = Gesamtstrom [A]
iR = Widerstandsstrom [A]
iL = Spulenstrom [A]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
Leitwertdreieck
1
Y = =
Z
2 2
G + BL
1
G = =
R
2 2
Y − BL
1
BL
=
x
=
2
Y − G
L
⎛ BL ϕ = arctan⎜
⎝ G
⎞
⎟
⎠
2
y = Scheinleitwert, Admittanz [1/Z]
G = Wirkleitwert, Konduktanz [1/R]
BL = Blindleitwert, Suszeptanz [1/xC]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
ϕ
i
ϕ
y
iR
G
iL
BL

Formelsammlung Elektrotechnik 78
Widerstandsdreieck
Z
1
= =
y
R ⋅ x
R
2
L
+ x
2
L
Z = Scheinwiderstand - Impedanz [Ω]
y = Scheinleitwert, Admittanz [1/Z]
R = Widerderstand [Ω]
xL = Induktiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
Leistungsdreieck
S = U ⋅ J =
P = U
Q
L
R
= U
⋅ J
L
R
⋅ J
L
=
P
=
2
+ Q
S
2
S
2
2
L
− Q
2
L
− P
P = Wirkleistung [W]
S = Scheinleistung [VA]
QL = Induktive Blindleistung [var]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
Leistungsfaktor
cos
( ϕ )
P J R G
= = = =
S J y
2
Z
R
11.9. RLC-Serieschaltung
i UR UL UC
UT
xC
ϕ
Z
ϕ
S
P
R
2 2
xL + R
QL

Formelsammlung Elektrotechnik 79
Spannungsdreieck
2
UT = U R + ( U C −U
L )
⎛U C −U
ϕ = arctan ⎜
⎝ U R
UL > UC � ϕ positiv
UL < UC � ϕ negativ
UT = Angelegte Spannung [V]
UL = Spulenspannung [V]
UC = Kondensatorspannung [V]
UR = Widerstandsspannung [V]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
Widerstandsdreieck
2
Z = R + xL
−
cos
sin
R
( ϕ ) =
Z
( ϕ)
L
( xC
)
xL − xC
=
Z
⎞
⎟
⎠
2
xL > xC � Induktives Verhalten � ϕ positiv
xL < xC � Kapazitives Verhalten � ϕ negativ
Z = Scheinwiderstand - Impedanz [Ω]
R = Widerderstand [Ω]
xL = Induktiver Blindwiderstand [Ω]
xC = Kapazitiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
2
ϕ
J UR
ϕ
UT
Z
R
UL
xC xC
UC
xL xL

Formelsammlung Elektrotechnik 80
Leistungsdreieck
( ) 2
Q Q
2
S = P + L −
cos
( ϕ)
=
P
S
P = Wirkleistung [W]
S = Scheinleistung [VA]
QL = Induktive Blindleistung [var]
QC = Kapazitive Blindleistung [var]
ϕ = Phasenverschiebung [°]
11.10. RLC-Parallelschaltung
U ~ R
Stromdreieck
i
iR
2
i = iR
+ ( iC
− iL
)
iL > iC � Induktives Verhalten
iL < iC � Kapazitives Verhalten
i = Gesamtstrom [A]
iR = Widerstandsstrom [A]
iL = Spulenstrom [A]
iC = Kondensatorstrom [A]
2
C
iL
L
iC
xC
ϕ
i
ϕ
S
P
QC
iC
QL
iL
U

Formelsammlung Elektrotechnik 81
Leitwertdreieck
2
y = G + BL
−
( BC
)
y = Scheinleitwert, Admittanz [1/Z]
G = Wirkleitwert, Konduktanz [1/R]
BL = Blindleitwert, Suszeptanz [1/xC]
Leistungsdreieck
( C ) Q
2
L Q P S − + =
P = Wirkleistung [W]
S = Scheinleistung [VA]
QL = Induktive Blindleistung [var]
QC = Kapazitive Blindleistung [var]
Anwendung
2
2
- Parallelschwingkreis
- Blindleistungskompensation in Firmen (Phasenschieber)
(Maschinenfabrik).
ϕ
G
y BL
BC

Formelsammlung Elektrotechnik 82
12. Impulsformerglieder
12.1. Differenzierglied
τ = R ⋅C
Allgemein
T = t + t
U
U
i
p
ti
T
ti
g =
T
tp
τ =
1 ti
v = ≈ 5
g τ
L
R
Anwendung
- Regeltechnik
- Analogrechner
- Filter
τ = Zeitkonstante [s] tp = Pausendauer [s]
R = Widerstand [Ω] g = Tastgrad [1]
C = Kapazität [F] v = Tastverhältnis [1]
L = Induktivität [H]
T = Periodendauer [s]
ti = Impulsdauer [s]
t
t
RL - und LR - Glieder
werden kaum verwendet.

Formelsammlung Elektrotechnik 83
12.2. Integrierglied
Bei τ >> T entsteht annähernd eine Gleichspannung (Siebwirkung
von C). Mathematisch entspricht dies einer Integration.
τ = R ⋅C
Allgemein
T = t + t
U
U
i
p
ti
T
ti
g =
T
tp
τ =
1 ti
v = ≈ 5
g τ
L
R
Anwendung
- Regeltechnik
- Analogrechner
- Filter
τ = Zeitkonstante [s] tp = Pausendauer [s]
R = Widerstand [Ω] g = Tastgrad [1]
C = Kapazität [F] v = Tastverhältnis [1]
L = Induktivität [H]
T = Periodendauer [s]
ti = Impulsdauer [s]
t
t

Formelsammlung Elektrotechnik 84
13. Schwingkreise
13.1. RLC-Serieschwingkreis
Der Serieschwingkreis ist eine Sieb - oder Filterschaltung. Frequenzen
in der Nähe der Resonanzfrequenz werden durchgelassen
(Saugfrequenz).
Bemerkung
R ist der externe Dämpfungswiderstand
oder Spulenverlustwiderstand.
2
U = U Rv + ( UC
−U
L)
2
Z = RV
+ ( xL
− xC
)
R, xL, xC, Z
2
2
Die Impedanz Z ist am kleinsten, wenn xL = xC ist:
2
1
f ⋅ L =
2πf
⋅ C
π daraus folgt:
Resonanzfrequenz
f
0
1
=
2π
L ⋅C
(Tomsonsche Schwingungsformel)
Rv L C
i URv UL UC
t
UT

Formelsammlung Elektrotechnik 85
Bei der Resonanz
xL = xC
Z =
2
R + ( xL
2
− xC
) � Z 0 = RV
Phasenverschiebung � ϕ = 0°
Strom bei Resonanz �
� der Strom ist bei Resonanz am grössten
� im Idealfall R = 0 � I0 = ∞A!
U
I 0 = =
Z
Bei Resonanz gibt es eine Spannungsueberhöhung. Die Spannungen
an L und C können grösser sein als die angelegte Spannung.
Güte Q
Sie gibt die Spannungsueberhöhung an:
U
U
x
L C L
Q = = = =
U U RV
Dämpfung d
d
1
=
Q
Bandbreite b
J
J
J
0
2
fgu
x
R
C
V
f0
b
fgo
0
U
RV
f

Formelsammlung Elektrotechnik 86
b
=
f
Q
f0
⋅ R
x
f0
⋅ RV
RV
2πfL
2πL
0 = f0
⋅ d = V = =
L
Je höher die Guete Q ist, desto schmalbandiger ist der Schwingkreis.
Grenzfrequenzen
Obere Grenzfrequenz
Untere Grenzfrequenz
Bei Grenzfrequenz gilt:
f = f go resp. f gu
ϕ = 45°
J
Z
g
g
=
=
J
0
2
2 ⋅ Z
U
0
R
=
U
2
f go
f gu
13.2. RLC-Parallelschwingkreis
=
=
f
f
0
0
b
+
2
b
−
2
Parallelschwingkreise werden häufig zur Aussiebung von Frequenzen
verwendet � Bandsperre (Sperrkreis).
2
i = iR
+ ( iL
− iC
)
2
L B G y − + =
2
( C ) B
2
i
iR
U~ RP
iL
L
iC
xC

Formelsammlung Elektrotechnik 87
Z, y
Der Scheinleitwert y ist am kleinsten, wenn BL = BC ist:
1
= 2πf
⋅ C
2πf
⋅ L
Resonanzfrequenz
Bei Resonanzfrequenz
daraus folgt:
f
0
1
=
2π
L ⋅C
BL = BC � xL = xC
Phasenverschiebung = 0°
Der Strom in der Zuleitung ist am kleinsten
i =
0
U
R
P
Durch die Spule und den Kondensator können grössere Ströme
fliessen! � Stromüberhöhung
Impedanz Z0 = RP
R
R
P
P
U
=
i
L
=
C ⋅ R
V
R
R
P
P
t
=
( 2πf
⋅ L)
= Q
R
V
2
Spule
⋅ R
2
V

Formelsammlung Elektrotechnik 88
Güte Q
Sie gibt die Spannungsüberhöhung an:
J
J
B
L C L C P
Q = = = = = =
J J G G xL
Dämpfung d
d
1
=
Q
Bandbreite b
f0
b = = f0
⋅ d
Q
B
R
R
x
P
C

Formelsammlung Elektrotechnik 89
14. Filterschaltungen
14.1. RC-Hochpass
Resonanzfrequenz
1
f g = [ f g ] =
2 ⋅π
⋅ R ⋅ C
Spannungsverhältnis
U
Hz
R
= U1
⋅
[ U 2]
= V
2 2
R + x
a
2 = 0.
707
Phasenverschiebung
C
U
U
⎛U
⎞ a
ϕ = a cos ⎜
⎟ [ ϕ]
= °
ϕ = 45°
⎝ U e ⎠
Ue
e
1
=
2
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 90
Dämpfung
V
u
⎛U
⎞ a = 20 ⋅lg
⎜ = −3dB
U ⎟
au = 3dB
⎝ e ⎠
fg = Grenzfrequenz [Hz]
C = Kapazität [F]
R = Widerstand [Ω]
Ue = Eingangsspannung [V]
Ua = Ausgangsspannung [V]
xC = kapazitiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenwinkel [°]
14.2. RL-Hochpass
Resonanzfrequenz
R
f g = [ f g ] =
2 ⋅π
⋅ L
Spannungsverhältnis
U
Hz
xL
= U1
⋅
[ U 2]
= V
2 2
R + x
a
2 = 0.
707
Phasenverschiebung
L
U
U
⎛U
⎞ a
ϕ = a cos ⎜
⎟ [ ϕ]
= °
ϕ = 45°
⎝ U e ⎠
Dämpfung
V
u
Ue
e
1
=
2
⎛U
⎞ a = 20 ⋅lg
⎜ = −3dB
U ⎟
au = 3dB
⎝ e ⎠
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 91
fg = Grenzfrequenz [Hz]
C = Kapazität [F]
R = Widerstand [Ω]
Ue = Eingangsspannung [V]
Ua = Ausgangsspannung [V]
xL = induktiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenwinkel [°]
14.3. RC-Tiefpass
Resonanzfrequenz
1
f g = [ f g ] =
2 ⋅π
⋅ R ⋅ C
Spannungsverhältnis
U
Hz
xC
= U1
⋅
[ U 2]
= V
2 2
R + x
a
2 = 0.
707
Phasenverschiebung
C
U
U
⎛U
⎞ a
ϕ = a cos ⎜
⎟ [ ϕ]
= °
ϕ = 45°
⎝ U e ⎠
Dämpfung
V
u
e
1
=
2
⎛U
⎞ a = 20 ⋅lg
⎜ = −3dB
U ⎟
au = 3dB
⎝ e ⎠
fg = Grenzfrequenz [Hz]
C = Kapazität [F]
R = Widerstand [Ω]
Ue = Eingangsspannung [V]
Ua = Ausgangsspannung [V]
Ue
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 92
xC = kapazitiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenwinkel [°]
14.4. RL-Tiefpass
Resonanzfrequenz
R
f g = [ f g ] =
2 ⋅π
⋅ L
Spannungsverhältnis
U
Hz
R
= U1
⋅
[ U 2]
= V
2 2
R + x
a
2 0.
707
Phasenverschiebung
L
U
U
⎛U
⎞ a
ϕ = a cos ⎜
⎟ [ ϕ]
= °
ϕ = 45°
⎝ U e ⎠
Dämpfung
V
u
e
=
1
=
2
⎛U
⎞ a = 20 ⋅lg
⎜ = −3dB
U ⎟
au = 3dB
⎝ e ⎠
fg = Grenzfrequenz [Hz]
C = Kapazität [F]
R = Widerstand [Ω]
Ue = Eingangsspannung [V]
Ua = Ausgangsspannung [V]
xL = induktiver Blindwiderstand [Ω]
ϕ = Phasenwinkel [°]
Ue
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 93
14.5. Bandpass
Sehr tiefe und sehr hohe Frequenzen werden gesperrt.
Möglichkeit 1
Ue
Möglichkeit 2
Ue
CR - HP RC - TP
Grenzfrequenz
Ausgangsspannung
mit R1 = R2 und C1 = C2
f g
=
2π
R
U a max = U e
U
U a max =
3
Phasenverschiebung ϕ = 0°
Ua
1
1
⋅C
1
⋅ R
2
2
⋅C
1
R1
C
1+
+
R C
e
2
1
2
Ua

Formelsammlung Elektrotechnik 94
Ua/Ue
14.6. Bandsperre
Ue
14.7. Verstärkung - Dämpfung
Verstärkungsfaktoren Dämpfungsfaktoren
Ue < Ua
Pa
V P =
P
TP HP
e
U
V =
Ue
a
U
Ue
i
V i =
i
Ua/Ue
VP = Leistungsverstärkungsfaktor
DP = Leistungsdämpfungsfaktor
VU = Spannungsverstärkungsfaktor
DP = Spannungsdämpfungsfaktor
Vi = Stromverstärkungsfaktor
Di = Stromdämpfungsfaktor
a
e
f
TP HP
Ue > Ua
Pe
D P =
P
a
U
D =
e
U
U a
f
ie
D i =
i
a

Formelsammlung Elektrotechnik 95
V
P
Pa
=
P
e
1
=
D
P
14.8. Leistungsverstärkungs – Dämpfungsmass
VP in Bel VP = log (VP)
Um 1-2 Stellen vor dem Komma zu gewinnen, multipliziert man mit 10.
Leistungsverstärkungsmass vP in dB ⎟ ⎛ P ⎞ a
v = ⋅
⎜
P 10 log
⎝ Pe
⎠
Leistungsdämpfungsmass aP in dB ⎟ ⎛ P ⎞ e
a = ⋅
⎜
P 10 log
⎝ Pa
⎠
v = −a
P
P
14.9. Spannungsverstärkungs - Dämpfungsmass
Für Spannungen gilt:
P
U
R
2
2
= ( )
log U � 2 ⋅ log(
U )
Spannungsverstärkungsmass vU in dB ⎟ ⎛U
⎞ a
v = ⋅
⎜
U 20 log
⎝ U e ⎠
Spannungsdämpfungsmass aU in dB ⎟ ⎛U
⎞ e
a = ⋅
⎜
U 20 log
⎝ U a ⎠
v =
−a
U
U

Formelsammlung Elektrotechnik 96
14.10. Stromverstärkungs - Dämpfungsmass
Für Spannungen gilt:
P = I ⋅
2
R
2 ( )
log I � 2 ⋅ log(
I )
Stromverstärkungsmass vi in dB ⎟ ⎛ i ⎞ a
v = ⋅
⎜
i 20 log
⎝ ie
⎠
Stromdämpfungsmass ai in dB ⎟ ⎛ i ⎞ e
a = ⋅
⎜
i 20 log
⎝ ia
⎠
v = −a
i
i
14.11. Dämpfungsmass “Neper”
In der Fernmeldetechnik verwendet man teilweise noch als
Dämpfungsmass “Neper”.
⎛ U ⎞ e a = ln
⎜
⎟ [Np] (Neper)
⎝U
a ⎠
14.12. Spannungswerte in dB
dB Vi resp. Vu
0 1
3 2
6 2
10 3.2
20 10
40 100
60 1000

Formelsammlung Elektrotechnik 97
14.13. Absoluter Pegel
In der Antennen - , NF - und Nachrichtentechnik bezieht man die dB -
Rechnung oft auf eine Bezugsspannung.
⎛ U
pa = 20⋅
log
⎜
⎝ u0
⎞
⎟
⎠
u0 = Bezugsspannung
pa = Absoluter Pegel
Im Telefonbereich u0 = 775 mV
Im HF - Bereich u0 = 1 μ V

Formelsammlung Elektrotechnik 98
15. Dreiphasiger Wechselstrom
15.1. Sternschaltung
L1, L2, L3 = Polleiter
N = Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das
Vierleitersystem.
UST = Strangspannung
UL12 - UL23 = Leiterspannung
I = Leiterstrom
= Stronstrom
IST
Strangstrom = Leiterstrom Strangspannung
I ST = I
U
U =
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅U
⋅ I ⋅cos(
ϕ)
S = 3 ⋅U
⋅ I
Q = 3 ⋅U
⋅ I ⋅sin(
ϕ)
ST
Bei unsymetrischer Belastung der drei Stränge führt der Mittelleiter den
sogenannten Ausgleichstrom.
Dem Verbraucher stehen zwei verschiedene Spannungen zur
Verfügung (230V / 400V).
L12
3

Formelsammlung Elektrotechnik 99
15.2. Dreieckschaltung
L1, L2, L3 = Polleiter
N = Neutralleiter
Die vier Leiter (L1, L2, L3, N) bilden das
Vierleitersystem.
UST = Strangspannung
UL12 - UL23 = Leiterspannung
I = Leiterstrom
= Stronstrom
Strangspannung = Leiterspannung Strangspannung
U ST = U
IST
Leistungen in der Sternschaltung
P = 3 ⋅U
⋅ I ⋅cos(
ϕ)
S = 3 ⋅U
⋅ I
Q = 3 ⋅U
⋅ I ⋅sin(
ϕ)
I =
Haben eine Sternschaltung und eine Dreieckschalung indentische
Wicklungen, so nimmt die Dreieckschaltung die dreifache Leistung der
Sternschaltung auf.
P = 3 ⋅ P
Dreieck
Stern
Diese Tatsache wird in Stern - Dreieckschaltern ausgenutzt.
Beim einschalten eines Motors schaltet man zuerst in die
Sternschaltung (� kleiner Anlaufstrom) und dann nach der Anlaufzeit
für den Betrieb in die Dreieckschaltung.
ST
I
L12
3

Formelsammlung Elektrotechnik 100
15.3. Drehzahl von Synchron- und Asynchronmotoren
Drehzahl
⋅ f
N =
P
60
F = Frequenz [Hz]
P = Poolpare (Sternschaltung = 1 Poolpaar) [1]
N = Drehzahl [min -1 ]
Nmax in EU und CH (1 Poolpaar):
EU/CH 3000 min -1
USA 3600 min -1