Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

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Beachten Sie, daß ein m-Simplex nur für ungerades m eine Euler-Tour enthält! (Warum?) (3) Die Eckenmenge eines vollständig bipartiten (“zweigeteilten”) Graphen zerfällt in zwei disjunkte Teilmengen, so daß jede Ecke der einen Menge mit jeder der anderen verbunden ist, aber keine zwei Ecken innerhalb einer der beiden Mengen eine Kante bilden. Man bezeichnet einen solchen Graphen mit K m,n , falls die eine Menge m und die andere n Elemente hat. Explizit ist also K m,n = (m+n, {xy | x ∈ m, y ∈ m+n \ m} = {m+1, ..., m+n}). Während K m,n nach Satz 2.8 genau dann eine Euler-Tour besitzt, wenn sowohl m als auch n gerade ist, hat K m,n genau dann einen Hamilton-Kreis, wenn m mit n übereinstimmt. Ein Hamilton-Pfad existiert auch für den Fall, daß sich m und n um 1 unterscheiden. ❝ ❝ ❍ ❝ ❝ ❝ ❅ ❝ ✟ ✟✟✟ ❍ ❅ ❝ ❍❍ ❍ ❅ ❝ ❝ ✟ ✟✟✟ ❍ ❝ ❍❍ ❅ ❅ ❅ ❝ K 2,3 K 3,3 (4) Alle fünf Platonischen Körper besitzen Hamilton-Kreise. Beim Dodekaeder haben wir das zu Beginn dieses Abschnitts gesehen. Hier sind die vier anderen (in die Ebene gelegt und deshalb etwas verzerrt): ❝ ❝ ❝ ✔☞ ▲ ❚ ❝ ❅ ❝ ❝ ❝ ✔☞ ❝ ✔ ❚ ✔✂ ✔ ❝ ❚ ❝ ❝ ✔❝ ✂ ❚ ❝ ✧ ❚ ❝ ✔ ✧ ❜ ❜ ❝ ❝ ❅ ❝ ❝ ✔ ❝❚ ❇ ✔❝. ❝ ✔ ❚ ❇ ❝ ▲ ❚ ☞★ ▲ ♣♣♣ ❝ ❚ ✔ ❆ ✁ ❚ ✥✥ ❵❵ ❅ ✔❝ ❝ ✁ ❚❉ ✔ ❳ ❝ .❝ ❝ ❝ ✔✜✜ ✜ ☎ ❵❵❵ ◗ ❆ ❭ ❚ ✥✥✥ ✘ ❚ ✑ ❭ ❚ ❝ Ikosaeder Tetraeder Hexaeder Oktaeder Leider kennt man im Gegensatz zur Gradbedingung für Eulersche Graphen kein einfaches Kriterium, das genau die Hamiltonschen Graphen charakterisiert. Allerdings gibt es einige ziemlich gute Bedingungen an die Grade, die in vielen Fällen die Existenz eines Hamilton-Kreises sichern. Soviel ist klar: Je mehr Kanten ein Graph hat, desto größer ist die Chance, einen Hamilton-Kreis zu finden. Genauer gesagt: Ist G = (X, E) Hamiltonsch, so auch jeder Graph G ′ = (X, E ′ ) mit E ⊆ E ′ . Das beste bekannte Kriterium ist der folgende Satz von Chvátal (1972): Satz 2.13 Erfüllt die Gradfolge (d i ) eines Graphen G = (X, E) mit m ≥ 3 Ecken für alle i < m 2 die Bedingung (1) d i ≤ i ⇒ d m−i ≥ m−i (d.h. max{d i −i−1, d m−i −m+i} ≥ 0), so gilt: (2) E = P 2 X, oder es gibt ein xy ∈ P 2 X \ E mit d(x) + d(y) ≥ m. (3) G ist Hamiltonsch. 16
Beweis. (2) Wir betrachten eine “Nichtkante” xy ∈ P 2 X \ E mit maximaler Gradsumme d(x) + d(y) und d(x) ≤ d(y). Unter der Annahme d(x) + d(y) < m ist i := d(x) < m 2 . Die Menge Z = X \ {x} \ Ey = {z ∈ X | z ≠ x, zy ∉ E} hat wegen |Z| = |X| − 1 − |Ey| = m − 1 − d(y) ≥ d(x) = i mindestens i Elemente z, die wegen zy ∈ P 2 X \ E und der maximalen Wahl von d(x) + d(y) allesamt d(z) ≤ d(x) = i erfüllen müssen. Daher gilt für das i-te Glied der aufsteigenden Gradfolge d i ≤ i, und (1) liefert m−i ≤ d m−i ≤ ... ≤ d m , d.h. es gibt mindestens i + 1 Elemente w mit d(w) ≥ m−i, darunter mindestens eines, das nicht mit x verbunden ist (wegen d(x) = i). Aber dann wäre doch d(x) + d(y) ≥ d(x) + d(w) ≥ i+ m−i = m. (3) Angenommen, es gäbe ein Gegenbeispiel G = (X, E) mit maximaler Kantenmenge E ≠ P 2 X. (Der Fall E = P 2 X wurde in Beispiel 2.12 (2) erledigt.) Wir wählen gemäß Teil (2) ein xy ∈ P 2 X \ E mit d(x) + d(y) ≥ m. Dann hat der erweiterte Graph G + xy = (X, E ∪ {xy}) einen Hamilton-Kreis, und nach Wegnahme der Kante xy bleibt ein Hamilton-Pfad (x 0 , x 1 , ..., x m ) von x nach y übrig. Die Mengen I = {i ∈ m | xx i+1 ∈ E} und J = {j ∈ m | yx j ∈ E} haben wegen |I| + |J| = d(x) + d(y) ≥ m ein gemeinsames Element i, denn die Vereinigung I ∪ J ist in m−1 enthalten (beachte xy ∉ E). Und nun erweist sich (x = x 0 , x i+1 , x i+2 , ..., x m = y, x i , x i−1 , ..., x 0 ) doch als Hamilton-Kreis in G. □ x i ❝ ❞ ❝ ❞ x i+1 x i−2 ❝ ❞ ▲ ❝ ❝ ❛ ☞☞ x i+2 ❞❝ I ▲ ❅ ☞ J ❝ ❝ ▲ ☞ ☞☞ x 1 ☞ ❛ ☞ x m−1 ❅ ❝ ❞ ❛ ❝ ☞ x = x ....... ▲ ☞ 0 x m = y Anmerkung. Bezeichnet g(i) die Anzahl aller Ecken vom Grad höchstens i, so ist wegen der Konvention, daß die Gradfolge aufsteigen soll, die Ungleichung d i ≤ i gleichbedeutend mit i ≤ g(i). Daher entspricht (1) einer einzigen Ungleichung: (1’) min{max{g(i) − i, m −i − g(m −i −1)} | i < m 2 } > 0. Definitionsgemäß ist g(m−1) = g(m) = m. Der gleiche Beweis wie zu (3) zeigt: Satz 2.14 Haben in einem Graphen mit m Ecken je zwei nicht adjazente Ecken x und y eine Gradsumme d(x) + d(y) ≥ m, so ist G Hamiltonsch. Als besonders einprägsamen Spezialfall erhält man den Satz von Dirac (1952): Folgerung 2.15 Ist jede Ecke zu mindestens der Hälfte aller Ecken adjazent (d.h. d(x) ≥ m 2 für alle x ∈ X), so hat G = (X, E) einen Hamilton-Kreis. 17
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