Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

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Da die Summe der beiden Kantenzahlen von G und G bei m Ecken m(m − 1)/2 ergibt, kann ein Graph nur dann zu seinem Komplement isomorph sein, wenn seine Kantenzahl m(m − 1)/4 beträgt; das ist natürlich nur dann möglich, wenn m(m − 1)/2 gerade ist, also z.B. nicht für m = 10. Bei der strukturellen Untersuchung eines Graphen G interessieren naturgemäß zwei Zahlen: (1) die Anzahl s(G) der Symmetrien (Automorphismen) von G, (2) die Anzahl i(G) der zu G isomorphen Graphen mit gleicher Eckenmenge. Erstaunlicherweise kann man jede dieser beiden Zahlen sofort aus der anderen berechnen: Satz 2.4 Für jeden endlichen (Di-)Graphen G mit m Ecken gilt m! = s(G)i(G). Beweis. Wir führen den allgemeineren Beweis für Digraphen, dürfen aber G = (m, R) annehmen. Zu jedem isomorphen Graphen G ′ ≃ G wählen wir einen Isomorphismus ϕ : G −→ G ′ und bezeichnen die Menge dieser ausgewählten Isomorphismen mit I(G). Wie zuvor sei S(G) die Gruppe der Automorphismen von G; insbesondere ist S m = S(m, ∅) die volle Permutationsgruppe mit m! Elementen. Wir definieren nun eine Abbildung F : S(G) × I(G) −→ S m durch F (σ, ι) = ι ◦ σ. (1)Die Abbildung F ist injektiv, denn im Falle ι 1 ◦ σ 1 = ι 2 ◦ σ 2 ist sowohl ι 1 als auch ι 2 = ι 1 ◦ σ 1 ◦ σ2 −1 ein Isomorphismus von G auf ein und denselben Graphen G ′ (da ι 2 [R] = ι 1 [σ 1 [σ2 −1 [R]]] = ι 1[R]). Wegen der eindeutigen Wahl der Isomorphismen folgt ι 1 = ι 2 und dann auch σ 1 = ι −1 1 ◦ ι 2 ◦ σ 2 = σ 2 . (2) F ist surjektiv, denn eine beliebige Permutation π ∈ S m ist ein Isomorphismus zwischen G = (m, R) und G ′ = (m, π[R]), und für den ausgewählten Isomorphismus ι ∈ I(G) zwischen G und G ′ ist σ = ι −1 ◦ π ein Automorphismus von G mit ι ◦ σ = π. Insgesamt haben wir eine Bijektion zwischen S(G)×I(G) und S m gefunden, und es folgt s(G)i(G) = |S(G) × I(G)| = |S m | = m! Wieviele Graphen gibt es auf einer festen Menge von m Ecken? Genau so viele, wie es Teilmengen von P 2 m gibt, also 2 1 2 m(m−1) . Eine erheblich schwierigere Frage ist, wieviele Isomorphietypen von Graphen mit m Ecken es gibt. Wir können diese Anzahl a(m) hier nicht allgemein berechnen, notieren aber die ersten Werte: m 1 2 3 4 5 6 a(m) 1 2 4 11 34 156 □ 6
Für m = 1, 2, 3 sieht man das sofort, und für m = 4 und 5 stellen wir in Kürze eine komplette Liste der Isomorphietypen auf. Aufgrund von Satz 2.4 gilt allgemein 2 1 2 m(m−1) /m! ≤ a(m) ≤ 2 1 2 m(m−1) , und obwohl m! schnell zu riesigen Zahlen anwächst, sind diese im Verhältnis zu den Zahlen 2 m(m−1)/2 aller Graphen mit m Ecken doch verschwindend klein: log 2 (m!) = ∑ m k=1 log 2(k) ≤ m log 2 (m) 2 1 2 m2 (1− 1 m − 2 log 2 m m ) ≤ 2 1 2 m(m−1) /m! ≤ a(m) ≤ 2 1 2 m2 (1− 1 m ) , und 2 log 2 m m geht fast ebenso rasant gegen 0 wie 1 m . Zwei endliche Graphen sind genau dann zueinander isomorph, wenn sie eine übereinstimmende graphische Darstellung (mit unterschiedlicher Beschriftung der Knoten) besitzen. Es ist aber keineswegs immer einfach, von zwei Graphen anhand gegebener Zeichnungen festzustellen, ob sie isomorph sind – denn ein Graph kann sehr verschieden aussehende Darstellungen besitzen. Beispiel 2.5 Isomorph oder nicht? Von den nachfolgend skizzierten sechs Graphen mit jeweils 10 Knoten sind keine zwei in einer Reihe zueinander isomorph, während je zwei Diagramme in einer Spalte erstaunlicherweise den gleichen Graphen darstellen! ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❝ ❝ ❝ ❩ ✂ ✂ ◗ ❝ ❇ ❇❇ ❇ ❝ ✚ ✚ ✏ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❝ ❝ ❝ ❇ ✂ ❩ ❇❝ ✂ ✂✂ ❇ ❇❝ ✂✂ ✂ ◗ ❝ ❇ ✏ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❝ ✑ ◗ ◗ ❝ ✏ ❝ ❇❇ ❇ ❇ ❇❝ ✂ ✂ ✂ ✂✂ ❇❇ ❇ ❇ ❇❝ ❝ ✂ ✂ ✂ ✂✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ ❝ ❝ ✁ ❝ ❝ ✁✧ ✧ ❜❜ ❝ ❆❆ ❜ ❝ ❆ ❝ ✧ ❜ ❝ ❜ ✁ ❆ ❝ ✧ ✧✧ ❜ ❝ ✁ ❝ ❝ ✁ ❝ ❝ ✁✧ ✧ ❜❜ ❝ ❆❆ ❜ ❝ ❆ ❝ ✧ ❜ ❝ ✁ ❆❝ ❝ ✁ ❝ ❝ ✁ ❚ ❝ ✧ ❝ ✁ ❚ ❝ ❚ ❆❆ ❝ ❆ ❝ ✧ ❚ ❝ ✁ ❆❝ ❝ ✁ Die beiden Bilder in der ersten Spalte zeigen den Petersen-Graphen (P 2 M, E) mit {f, g}∈E ⇔ f ∩ g = ∅ für eine fünfelementige Menge M. Hier ist P 2 M die Eckenmenge, nicht die Kantenmenge! Daß zwei Graphen isomorph sind, beweist man durch konkrete Angabe eines Isomorphismus; einen solchen zu finden, ist allerdings manchmal sehr aufwendig. Einer von mehreren Isomorphismen zwischen den beiden Petersen-Graphen in Beispiel 2.5 klappt die waagerechte Kante des Drudenfußes nach oben und vertauscht seine beiden “Fußpunkte”. Bei den beiden mittleren Graphen muß man nur die obere waagerechte Kante verschieben. Im dritten Fall (rechts) bildet man das Außenfünfeck im oberen Graphen auf das linke und das Innenfünfeck auf das rechte im unteren Graphen ab (oder umgekehrt). 7
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