Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Auf die Endlichkeitsbedingung in Satz 2.23 kann man verzichten, wenn man
fordert, daß jedes Element des Wurzelbaumes über einem minimalen liegt. (Beachten
Sie den Unterschied zwischen minimalen und kleinsten Elementen: Ein
kleinstes Element liegt unter allen anderen, während ein minimales nur die Eigenschaft
hat, daß kein anderes darunter liegt!)
Wir wollen uns überlegen, wie die Bäume der Graphentheorie mit den Wurzelbäumen
der Ordnungstheorie zusammenhängen. Erinnern wir uns daran, daß
der Nachbarschaftsgraph (X, E) einer geordneten Menge (X, ⊑) durch Symmetrisierung
der Nachbarschaftsrelation ⊏ ∨ entsteht, also indem man nur die ungerichteten
Kanten zwischen benachbarten Elementen betrachtet:
E = {xy | x ⊏ ∨ y}.
Satz 2.24 Der Nachbarschaftsgraph eines Wurzelbaumes (X, ⊑) ist ein Baum,
und die Ordnung ist durch diesen Baum und die Wurzel w festgelegt:
(W) x ⊑ y ⇔ x liegt auf dem Pfad von w nach y.
Umgekehrt gibt es zu jedem Knoten w eines Baumes B = (X, E) genau einen
Wurzelbaum mit Wurzel w, dessen Nachbarschaftsgraph B ist, nämlich den
durch (W) definierten. Aus jedem Baum mit m Knoten entstehen also genau
m Wurzelbäume.
❞
❞
❞ y x
❅
w
Beweis. Für einen Wurzelbaum (X, ⊑) ist der Graph (X, E) mit E = {xy|x⊏ ∨ y}
wegen der endlichen Verkettung zusammenhängend. Wäre (x 0 , x 1 , ..., x n = x 0 )
ein Kreis in (X, E) minimaler Länge, so könnte nicht für jedes i die Beziehung
x i−1 ⊏ x i gelten (sonst wäre x 0 ⊏ x n ), also gibt es ein i mit x i−1 ⊏ x i und
x i+1 ⊏ x i (im Falle i = 0 bzw. i = n bedeutet i−1 natürlich n−1, und i+1
bedeutet 1). Aber wegen Bedingung (Ψ) könnten wir dann x i weglassen, da x i−1
mit x i+1 vergleichbar ist. Also kann (X, E) keine Kreise enthalten.
Nun sei B = (X, E) ein beliebiger Baum und w ein fest gewählter Knoten.
Wir definieren eine Relation ⊑ auf X durch (W) und beachten, daß es nach
Satz 2.18 stets einen eindeutigen Pfad zwischen w und y gibt. Die Relation ⊑ ist
offenbar reflexiv und transitiv. Antisymmetrisch ist sie wegen der Nichtexistenz
von Kreisen: Im Falle x ⊏ y ⊏ x gäbe es einen geschlossenen Weg durch x und y,
und dieser enthielte einen Kreis. Die so entstehende geordnete Menge (X, ⊑) ist
ein Wurzelbaum mit Wurzel w, denn nach Definition gilt w ⊑ y für alle y ∈ X,
und im Falle x ⊑ z und y ⊑ z liegen x und y auf dem eindeutigen Pfad von w
nach z, und es folgt x ⊑ y oder y ⊑ x. Der Nachbarschaftsgraph der Ordnung
⊑ ist der ursprüngliche Baum B (wegen der Eindeutigkeit der verbindenden
Pfade).
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