Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Inhaltsverzeichnis 2 Graphentheorie 3 2.1 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Eulersche Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Hamiltonsche Wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Bäume und Wälder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Mehrfacher Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2
2 Graphentheorie In diesem Kapitel widmen wir uns einigen elementaren, aber reizvollen Themen aus der Theorie der (schlichten) Graphen, also der irreflexiven und symmetrischen Digraphen (X, S). Die Relation S ist hier eindeutig durch die Menge E S = {xy = {x, y}|xS y} der Kanten (edges) festgelegt, und umgekehrt gibt es zu jeder Teilmenge E von P 2 X = {xy| x, y ∈ X, x ≠ y} = {Y ⊆X | |Y | = 2}, der Menge aller zweielementigen Teilmengen von X, genau einen Graphen (X, S) mit E = E S , nämlich denjenigen mit der irreflexiven und symmetrischen Relation S = {(x, y)|xy ∈ E}. Deshalb werden wir der gängigen Konvention folgen, auch die Paare (X, E) mit E ⊆ P 2 X Graphen zu nennen. Wie der Name schon sagt, lassen sich zumindest alle endlichen Graphen leicht graphisch veranschaulichen, indem man die Ecken oder Knoten (vertices), also die Elemente der Grundmenge X, durch Punkte oder kleine Kreise in der Ebene darstellt und je zwei solche durch eine Linie (Kante) verbindet, wenn die entsprechenden Ecken des Graphen eine Kante xy bilden. Man sagt in diesem Fall: x und y inzidieren mit der Kante xy, oder x und y sind adjazent (die deutsche Übersetzung “benachbart” vermeiden wir, um Verwechslungen mit dem gleichlautenden ordnungstheoretischen Begriff auszuschließen). Im Fall X = {x 1 , ..., x m } ist die zugehörige (symmetrische!) Inzidenz- oder Adjazenzmatrix A = (a ij ) ∈ {0, 1} m×m gegeben durch a ij = 1 ⇔ x i x j ∈ E. Beachten Sie, daß in der Graphentheorie die gezeichneten Darstellungen eine andere Bedeutung haben als in der Ordnungstheorie: Während dort nur aufsteigende Kanten vorkommen und stets als von unten nach oben gerichtet angesehen werden, haben Kanten in der Graphentheorie keine Orientierung, können also stets “in beiden Richtungen (und auch waagerecht) durchlaufen” werden. Trotzdem bestehen enge Verbindungen zwischen beiden Theorien: Indem man Pfeilspitzen wegläßt, also die entsprechende Relation symmetrisiert, erhält man (1) zu jeder geordneten Menge (X, ⊑) (2) den Vergleichbarkeitsgraphen (X, ⊏ s ) mit x ⊏ s y ⇔ x ⊏ y oder y ⊏ x, (3) den Unvergleichbarkeitsgraphen (X, ⊑ cs ) mit x ⊑ cs y ⇔ x ⋢ y und y ⋢ x, (4) und den Nachbarschaftsgraphen (X, ⊏ ∨s ) mit x ⊏ ∨s y ⇔ x ⊏ ∨ y oder y ⊏ ∨ x. Beispiel 2.1 Die geordnete Menge der Teiler von 12 und ihre Graphen 12 ✟ ✟✟✯ 6 ✡ ✡✣ ✻❏❏❪ 4 ❏ 3 ✡ ✡✣ ✻❏❏❪ ✡ ✡✣ 2 ❏❏❪ 1❏❏❪ ✟✄ ✡ ✡✣ ✄✄✄✄✗ ✟✟ (1) 12 ❝ ✟ ✟✟ 6 ❝ ✡☎ ❏ ❝ 4 3❏❏ ❝ ✡ ❏ ❝ ✡ 2 ❏❏ ❏ 1 ❝ ☎✟ ✡ ☎☎ ✟✟ (2) 3 12 ❝ 6 ❝ ❝ 4 ❝ ✟ ✟✟ ❝ 2 1 ❝ (3) 3 12 ❝ ❝ ✡ ❏ 6 ❝ 4 ❝ ✡ ❏ ❝ ✡ 2 ❏ 1 ❝ ✡ (4) 3
Seite 1: Diskrete Strukturen Marcel Erné Un
Seite 5 und 6: Ein Graph T ist Teilgraph eines Gra
Seite 7 und 8: Für m = 1, 2, 3 sieht man das sofo
Seite 9 und 10: (Isomorphietypen von) Graphen mit 5
Seite 11 und 12: 2.2 Eulersche Wege Als älteste Auf
Seite 13 und 14: ❞ ❞ k 3 k4 l4 l ❞ ✁ ❆ 3
Seite 15 und 16: 2.3 Hamiltonsche Wege Während bei
Seite 17 und 18: Beweis. (2) Wir betrachten eine “
Seite 19 und 20: Satz 2.18 Für einen Graphen G = (X
Seite 21 und 22: Die Isomorphietypen von Bäumen mit
Seite 23 und 24: Auf die Endlichkeitsbedingung in Sa
Seite 25 und 26: Wir wollen uns nun der Frage zuwend
Seite 27 und 28: Dies bestätigt den Satz von Cayley
Seite 29 und 30: Dabei ist stets d i −1 ≥ 0, wei
Seite 31 und 32: Satz 2.37 Jeder Graph mit m Knoten
Seite 33 und 34: Zu Satz 2.39 gibt es eine wichtige

Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?