Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Beweis. (2) Wir betrachten eine “Nichtkante” xy ∈ P 2 X \ E mit maximaler
Gradsumme d(x) + d(y) und d(x) ≤ d(y). Unter der Annahme d(x) + d(y) < m
ist i := d(x) < m 2
. Die Menge
Z = X \ {x} \ Ey = {z ∈ X | z ≠ x, zy ∉ E}
hat wegen
|Z| = |X| − 1 − |Ey| = m − 1 − d(y) ≥ d(x) = i
mindestens i Elemente z, die wegen zy ∈ P 2 X \ E und der maximalen Wahl
von d(x) + d(y) allesamt d(z) ≤ d(x) = i erfüllen müssen. Daher gilt für das i-te
Glied der aufsteigenden Gradfolge d i ≤ i, und (1) liefert m−i ≤ d m−i ≤ ... ≤ d m ,
d.h. es gibt mindestens i + 1 Elemente w mit d(w) ≥ m−i, darunter mindestens
eines, das nicht mit x verbunden ist (wegen d(x) = i). Aber dann wäre doch
d(x) + d(y) ≥ d(x) + d(w) ≥ i+ m−i = m.
(3) Angenommen, es gäbe ein Gegenbeispiel G = (X, E) mit maximaler Kantenmenge
E ≠ P 2 X. (Der Fall E = P 2 X wurde in Beispiel 2.12 (2) erledigt.)
Wir wählen gemäß Teil (2) ein xy ∈ P 2 X \ E mit d(x) + d(y) ≥ m. Dann hat
der erweiterte Graph G + xy = (X, E ∪ {xy}) einen Hamilton-Kreis, und nach
Wegnahme der Kante xy bleibt ein Hamilton-Pfad (x 0 , x 1 , ..., x m ) von x nach y
übrig. Die Mengen
I = {i ∈ m | xx i+1 ∈ E} und J = {j ∈ m | yx j ∈ E}
haben wegen |I| + |J| = d(x) + d(y) ≥ m ein gemeinsames Element i, denn die
Vereinigung I ∪ J ist in m−1 enthalten (beachte xy ∉ E). Und nun erweist sich
(x = x 0 , x i+1 , x i+2 , ..., x m = y, x i , x i−1 , ..., x 0 ) doch als Hamilton-Kreis in G. □
x i
❝ ❞ ❝ ❞
x i+1
x i−2 ❝ ❞
▲
❝
❝
❛ ☞☞ x i+2
❞❝ I
▲ ❅
☞ J
❝
❝
▲ ☞ ☞☞
x 1 ☞
❛ ☞ x m−1
❅ ❝ ❞
❛
❝ ☞
x = x .......
▲ ☞
0 x m = y
Anmerkung. Bezeichnet g(i) die Anzahl aller Ecken vom Grad höchstens i, so ist
wegen der Konvention, daß die Gradfolge aufsteigen soll, die Ungleichung d i ≤ i
gleichbedeutend mit i ≤ g(i). Daher entspricht (1) einer einzigen Ungleichung:
(1’) min{max{g(i) − i, m −i − g(m −i −1)} | i < m 2 } > 0.
Definitionsgemäß ist g(m−1) = g(m) = m.
Der gleiche Beweis wie zu (3) zeigt:
Satz 2.14 Haben in einem Graphen mit m Ecken je zwei nicht adjazente Ecken
x und y eine Gradsumme d(x) + d(y) ≥ m, so ist G Hamiltonsch.
Als besonders einprägsamen Spezialfall erhält man den Satz von Dirac (1952):
Folgerung 2.15 Ist jede Ecke zu mindestens der Hälfte aller Ecken adjazent
(d.h. d(x) ≥ m 2
für alle x ∈ X), so hat G = (X, E) einen Hamilton-Kreis.
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