Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Während bei den zuvor eingeführten graphentheoretischen Bäumen keine
Richtung der Kanten vorgegeben ist, stellt man sich bei einem “echten” Baum
vor, daß er “von unten nach oben auseinander wächst”. Dieser Anschauung wird
eine ordnungstheoretische Variante des Baumbegriffes gerecht, die wir jetzt betrachten
wollen. Wir verstehen unter einem Wurzelbaum eine endlich verkettete
geordnete Menge (X, ⊑) mit einem kleinsten Element w (der Wurzel), so daß
keine zwei unvergleichbaren Elemente unter einem gemeinsamen Element liegen,
oder andersherum (durch Kontraposition) ausgedrückt:
(Ψ) x ⊑ z und y ⊑ z ⇒ x ⊑ y oder y ⊑ x.
Eine endlich verkettete geordnete Menge mit der Eigenschaft (Ψ) nennen wir
Wurzelwald. Ein Wurzelbaum heißt unär bzw. binar bzw. ternär, wenn all seine
Elemente höchstens einen bzw. zwei bzw. drei obere Nachbarn haben.
Beispiel 2.22 Ein Wurzelwald mit einem unären, einem binären und einem
ternären Wurzelbaum.
❝ 4
❝ 3
❝ 2
❝ 1
000
001 010 011 100 101 110
❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝
❈ ✄ ❈ ✄ ❈ ✄ ❈ ✄
❝ 00
❝ 01
❝ 10
❝ 11
❆ ✁ ❆ ✁
❆❝ ✁ ❆
0
❝ ✁
1
❅
❅ ❝ ∅
111
❝
popo ❝pott ❝otto ❝ toto
pop
❝ ❝ pot ❝ ott top
❝
❈ ✄
❝
po
❝ ot
❈ ✄
❝ to
❝ ❝
p
❍ o
❝ t
❍
❍ ❝ ✟ ✟✟✟
∅
❝ tot
Nicht sehr verwunderlich, aber doch nicht selbstverständlich ist
Satz 2.23 Eine endliche geordnete Menge ist genau dann ein Wurzelwald, wenn
ihre Komponenten Wurzelbäume sind.
Beweis. Sind die Komponenten Wurzelbäume, so überträgt sich (Ψ) von diesen
auf die Gesamtmenge (denn die Voraussetzung x ⊑ z und y ⊑ z erzwingt, daß
x und y in der gleichen Komponente liegen).
Umgekehrt ist jede Komponente B eines endlichen Wurzelwaldes zusammenhängend
und erfüllt (Ψ). Wir wählen ein minimales y in der endlichen Menge B
und behaupten, daß y unter jedem anderen x ∈ B liegt. Wegen des Zusammenhangs
von B gibt es eine Folge (x = x 0 , x 1 , ..., x n = y) minimaler Länge n mit
x i−1 ⊏ x i oder x i ⊏ x i−1 für jedes i ∈ n. Nun ist x n−1 ⊏ y wegen der Minimalität
von y ausgeschlossen; also muß der Fall y ⊏ x n−1 eintreten. Die kleinstmögliche
Wahl von n erzwingt unter der Annahme n > 1 die Beziehung x n−2 ⊏ x n−1 (sonst
könnte man x n−1 wegen der Transitivität weglassen). Aber nun liefert (Ψ) für
x n−2 statt x zusammen mit der Minimalität von y die Beziehung y ⊑ x n−2 , und
wir könnten x n−1 doch weglassen. Also ist nur n ≤ 1 und y ⊑ x möglich. □
❝ ❝ x n−1
❅
❝ ❅ ❝ ❅ ❅ ❝
x=x 0 x n−2 x n =y
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