Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Dies bestätigt den Satz von Cayley. Die oben konstruierte Folge (a 1 , ..., a m−2 )
heißt Prüfer-Code des Baumes G. Aufgrund des sukzessiven Bildungsprozesses
ist klar, daß je zwei verschiedene Bäume auch verschiedene Prüfer-Codes haben.
Um Satz 2.30 vollständig zu begründen, müssen wir uns nur noch vergewissern,
daß jede Folge (a 1 , ..., a m−2 ) in m wirklich als Prüfer-Code eines Baumes auftritt.
Zu diesem Zweck rekonstruieren wir den gesuchten Baum wie folgt. Wir
setzen a m−1 := a m−2 und bestimmen die zugehörigen Blätter rekursiv durch die
Vorschrift, daß b i das kleinste Element der folgenden Menge sei:
m \ {b 1 , ..., b i−1 } \ {a i , a i+1 , ..., a m−1 } (i = 1, ..., m−1).
Der letzte Knoten b m ist dann der noch übrig gebliebene, und die Kanten des
Baumes sind die Zweiermengen a i b i (i = 1, ..., m−1).
Beispiel 2.31 Wir betrachten die Folge (3, 7, 3, 7, 3) und bauen schrittweise
den zugehörigen Baum mit der Knotenmenge 7 auf:
5 = min(7 \ {1, 2, 3, 4, 7})
b i 1
2
4
5
6
7
3
7
3
7
3
3
7 \ {3, 7}
7 \ {1, 3, 7}
7 \ {1, 2, 3, 7}
7 \ {1, 2, 3, 4, 7}
7 \ {1, 2, 3, 4, 5}
7 \ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a i
1
❞
❅ ❞ 3
1
❞
❅ ❞ 3
❞ 2
❞ 7
❞
1
2
❞ ❞ 7 ❞ 4
❅ ❞ 3
❞
1 5 ❞
❞ ❞ 7
❞2
4
❅ ❞ 3
❞ 5 ❞
1
❞ ❞ 7
❞2
4
❅ ❞ 3
❞
6
❞ 5 ❞
1
❞ ❞ 7
❞2
4
❅ ❞ 3
❞
6
“Minimales Abblättern” führt auf die ursprüngliche Codierung:
❞ 5 ❞
1
❞ ❞ 7
❞2
4
❅
3
❞
6
❞ 5 ❞
7
❞2
4
❞ 3
❞
6
❞ 5
❞ 7 ❞
4
3
❞
6
7
❞
❞ 7
❞ 7
❞
❞ 5
3
❞
3
❞
3
6
6
Eine andere, ebenfalls anschauliche Codierungsmethode für Bäume ist die Konstruktion
von “Wirbeltieren”. Am einfachsten läßt sie sich anhand von Wurzelbäumen
erklären. Wir wählen außer der Wurzel w noch einen beliebigen
weiteren “Wirbel” w ′ aus. Ein Wirbeltier ist also ein Baum zusammen mit
zwei speziellen Knoten (die auch gleich sein dürfen). Den eindeutigen Pfad
(w = w 0 , ..., w k = w ′ ) zwischen w und w ′ betrachten wir als “Wirbelsäule”.
27