Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Zu Satz 2.39 gibt es eine wichtige Verallgemeinerung auf k-fachen Zusammenhang,
den berühmten Satz von Menger (1927). Zu seiner Formulierung brauchen
wir sogenannte trennende Ecken- bzw. Kantenmengen. Man sagt, eine Teilmenge
T von Ecken trennt zwei nicht in T liegende Ecken x und y eines Graphen
G = (X, E), falls x und y in dem Restgraph G−T durch keinen Weg verbunden
werden können, also in zwei verschiedenen Komponenten liegen. Mit anderen
Worten: Jeder x mit y verbindende Weg enthält eine Ecke aus T . Entsprechend
trennt eine Kantenmenge K die Ecken x und y, falls x und y in verschiedenen
Komponenten des Restgraphen G − K liegen. Offenbar sind Ex = {z | xz ∈ E}
und Ey = {z | yz ∈ E} stets trennende Eckenmengen für x und y (sofern x und
y nicht adjazent sind). Entsprechend sind {e ∈ E | x ∈ e} und {e ∈ E | y ∈ e}
trennende Kantenmengen für x und y, manchmal sogar die einzigen.
Beispiele 2.44 (1) Ein Graph mit drei von acht zweielementigen trennenden
Eckenmengen und zwei von fünf zweielementigen trennenden Kantenmengen für
x und y:
y
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❅ ❝
x
y
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❅
❅
❅ ❝ ❅ ❝
❅ ❝
x
y
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❅
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x
y
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y
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❅ ❝ ❅ ❝ ❅
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❅ ❝ ❅ ❝
x
x
(2) Ein Graph mit drei von elf trennenden Eckenmengen und zwei von vier
trennenden Kantenmengen minimaler Mächtigkeit 3 für x und y:
y
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❅
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x
y
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❅
❅
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❅ ❝
x
y
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❝ ❅
❅
❅ ❝ ❅ ❝
❅ ❝
x
y
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❅ ❝
❝ ❅ ❝ ❅ ❝
❅ ❝ ❝ ❅ ❝
❅ ❝
x
y
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❝ ❅ ❝ ❅ ❝
❅ ❝ ❝ ❅ ❝
❅ ❝
x
(3) Ein Graph mit einer eindeutigen zweielementigen trennenden Eckenmenge
und nur zwei trennenden Kantenmengen minimaler Mächtigkeit 3 für x und y:
y
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x
y
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❆❆ ❆ ✁
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x
y
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❅ ❝
x
Zwei Wege zwischen x und y heißen eckendisjunkt, falls sie außer den Endecken
x und y keinen weiteren gemeinsamen Ecken haben, und kantendisjunkt,
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