Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

✓✏
❜ ❜ ❜ ❜
❩ ❆ ✒✑
✄❝ ♣❝♣❝♣
❜ ❜ ❜ ❜ ❝❤❤ w ❦ ′ 6 ✲
❩
6
❆❝ ✄ ❳ ❳❳3 ❝ f ❤ ❤❈❈
❝ 2 ✲ 5
❜ ❜ ❜ ❜
❡✄ ✄ 3 ✲ 3
❜ ❜ ❜ ❏❏ ❜ ❇❝
✂❝
❈
❤ ❈
❏❏ ❇ ✂ ❤❤❤ ❝
❛ 1 ✲ 2
❝❤❤❤❤ ❝❳ ◗◗◗ ❳❳❳ ✄ ✄ ✐w 5 ✲ 1
f
Wir ordnen die “Wirbel” der Größe nach, bestimmen also die Permutation f der
Wirbelsäule mit f(w 0 ) < f(w 1 ) < ... < f(w k ). Für alle Knoten x außerhalb der
Wirbelsäule sei f(x) der eindeutige Nachfolger von x (auf dem Pfad nach w).
Auf diese Weise entsteht eine Funktion f : m −→ m, die das gegebene Wirbeltier
eindeutig codiert.
Umgekehrt kann man aus jeder Funktion f : m −→ m ein Wirbeltier konstruieren,
das mit dem obigen Verfahren wieder die ursprüngliche Funktion liefert.
Dazu betrachtet man die Gesamtheit W aller “zyklischen Elemente”, d.h. aller
x, für die es ein k ∈ N mit f k (x) = x gibt. Das wird die Wirbelsäule: ihre
Elemente werden “herumgewirbelt”, d.h. f induziert eine Permutation auf W .
(Wegen f k (f(x)) = f(f k (x)) = f(x) für x = f k (x) bildet f die Menge W in
sich ab, und zu x, y ∈ W mit f(x) = f(y) gibt es k und l mit f k (x) = x und
f l (y) = y, also x = f kl (x) = f kl (y) = y. Somit ist f| W injektiv und daher als
Abbildung auf der endlichen Menge W sogar bijektiv.) Als Teilmenge von m
ist W durch die gewöhnliche ≤-Relation geordnet. Wir definieren nun eine neue
Ordnung auf m, indem wir x ⊑ y setzen, falls x und y beide zu W gehören und
f(x) ≤ f(y) gilt, oder falls x nicht in W liegt und y = f k (x) für ein geeignetes k
gilt. Dann ist (m, ⊑) ein Wurzelbaum, dessen Wurzel das kleinste Element von
W ist, während man für w ′ das größte Element von W bezüglich ⊑ zu nehmen
hat. Aus diesen Überlegungen resultiert
Satz 2.32 Indem man jedem Wirbeltier, also jedem Tripel (G, w, w ′ ), bestehend
aus einem Baum und zwei Knoten, die obige Funktion f zuordnet, erhält man
eine Bijektion zwischen Wirbeltieren und Funktionen von m in m. Es gibt also
genau m m Wirbeltiere und m m−1 Wurzelbäume mit der Knotenmenge m.
Das bestätigt den Satz von Cayley, da man m 2 Möglichkeiten hat, die beiden
Endwirbel w und w ′ auszuwählen.
Wir wollen noch eine Formel für die Anzahl aller Bäume mit Knotenmenge
m und fest vorgegebenen Gradzahlen d i = d G (i) (i = 1, .., m) aufstellen. Da die
Anzahl der Kanten m−1 beträgt, muß die folgende Gleichung erfüllt sein:
(K) ∑ m
i=1 d ∑ m
i = 2m−2 bzw.
i=1 (d i−1) = m−2.
28