Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Da die Summe der beiden Kantenzahlen von G und G bei m Ecken m(m − 1)/2
ergibt, kann ein Graph nur dann zu seinem Komplement isomorph sein, wenn
seine Kantenzahl m(m − 1)/4 beträgt; das ist natürlich nur dann möglich, wenn
m(m − 1)/2 gerade ist, also z.B. nicht für m = 10.
Bei der strukturellen Untersuchung eines Graphen G interessieren naturgemäß
zwei Zahlen:
(1) die Anzahl s(G) der Symmetrien (Automorphismen) von G,
(2) die Anzahl i(G) der zu G isomorphen Graphen mit gleicher Eckenmenge.
Erstaunlicherweise kann man jede dieser beiden Zahlen sofort aus der anderen
berechnen:
Satz 2.4 Für jeden endlichen (Di-)Graphen G mit m Ecken gilt
m! = s(G)i(G).
Beweis. Wir führen den allgemeineren Beweis für Digraphen, dürfen aber
G = (m, R) annehmen. Zu jedem isomorphen Graphen G ′ ≃ G wählen wir einen
Isomorphismus ϕ : G −→ G ′ und bezeichnen die Menge dieser ausgewählten
Isomorphismen mit I(G). Wie zuvor sei S(G) die Gruppe der Automorphismen
von G; insbesondere ist S m = S(m, ∅) die volle Permutationsgruppe mit m!
Elementen. Wir definieren nun eine Abbildung
F : S(G) × I(G) −→ S m
durch F (σ, ι) = ι ◦ σ.
(1)Die Abbildung F ist injektiv, denn im Falle ι 1 ◦ σ 1 = ι 2 ◦ σ 2 ist sowohl
ι 1 als auch ι 2 = ι 1 ◦ σ 1 ◦ σ2 −1 ein Isomorphismus von G auf ein und denselben
Graphen G ′ (da ι 2 [R] = ι 1 [σ 1 [σ2 −1 [R]]] = ι 1[R]). Wegen der eindeutigen Wahl
der Isomorphismen folgt ι 1 = ι 2 und dann auch σ 1 = ι −1
1 ◦ ι 2 ◦ σ 2 = σ 2 .
(2) F ist surjektiv, denn eine beliebige Permutation π ∈ S m ist ein Isomorphismus
zwischen G = (m, R) und G ′ = (m, π[R]), und für den ausgewählten
Isomorphismus ι ∈ I(G) zwischen G und G ′ ist σ = ι −1 ◦ π ein Automorphismus
von G mit ι ◦ σ = π.
Insgesamt haben wir eine Bijektion zwischen S(G)×I(G) und S m gefunden,
und es folgt
s(G)i(G) = |S(G) × I(G)| = |S m | = m!
Wieviele Graphen gibt es auf einer festen Menge von m Ecken? Genau so
viele, wie es Teilmengen von P 2 m gibt, also
2 1 2 m(m−1) .
Eine erheblich schwierigere Frage ist, wieviele Isomorphietypen von Graphen mit
m Ecken es gibt. Wir können diese Anzahl a(m) hier nicht allgemein berechnen,
notieren aber die ersten Werte:
m 1 2 3 4 5 6
a(m) 1 2 4 11 34 156
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