Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

falls sie keine gemeinsamen Kanten haben. Die Verallgemeinerung des Satzes
2.39 von 2 auf k lautet nun:
Satz 2.45 Für je zwei nichtadjazente Ecken x und y in einem endlichen Graphen
G ist die maximale Anzahl eckendisjunkter Wege von x nach y gleich der
Minimalzahl trennender Ecken. Analoges gilt für Kanten statt Ecken.
Beweisskizze. Eine trennende Eckenmenge muß natürlich mindestens so viele
Elemente haben, wie es disjunkte Wege zwischen x und y gibt (sonst könnte
man sich auf einem Weg an dieser Trennmenge “vorbeimogeln”). Zu zeigen ist
also, daß die Existenz einer x und y trennenden Menge T mit einer Minimalzahl
von k Ecken auch k eckendisjunkte Wege zwischen x und y garantiert. Dies
beweist man durch Induktion über die Anzahl m der Ecken des Graphen.
Der Induktionsbeginn ist klar: Hat G nur die zwei Ecken x und y, so ist k =0,
und es gibt keinen verbindenden Weg. Wir nehmen nun an, die Behauptung sei
für alle Graphen mit weniger als m Ecken wahr. Für die “Nachbarschaften”
Ex = {z | xz ∈ E} und Ey = {z | yz ∈ E} unterscheiden wir zwei Fälle.
Fall 1. Es gibt eine trennende Menge T mit k Ecken und T ⊈ Ex und T ⊈ Ey.
Wir betrachten den auf T ∪ K x induzierten Teilgraphen, wobei K x die x enthaltende
Komponente des Restgraphen G − T ist, und verbinden eine neue Ecke w
mit allen Ecken aus T ; auf diese Weise entsteht ein Graph G x , der weniger Ecken
als G hat, und T erweist sich als trennende Eckenmenge minimaler Mächtigkeit
von x und w in G x . Der Graph G y sei analog definiert. Wir demonstrieren die
Konstruktion an Beispiel 2.44 (3).
y
❝
y
❝
y
❝
❝ ❅
❝ ❝
❅ ❝
❝ ❅
❝
❝ ✁✁ ✁ ❆ ✁ ❆❆ ❆
❝
✁ ❆ ✁
❆❝
❝ ❆
w
✁ ✁✁ ❆
❝ w
✁ ❆❆ ✁
❆❝
❆
✁
❝ ❆
❆❆ ❆
✁ ✁✁ ✁
✁
❆ ✁
❆❝
❅ ❝ ❅
❝
❅
❝
x G x x
G x
Nach Induktionsannahme gibt es je k eckendisjunkte Wege zwischen x und w
in G x , bzw. zwischen y und w in G y . Je ein Paar dieser Wege kleben wir an
den Schnittstellen in T zusammen und entfernen wieder die Hilfsecke w. Das
Ergebnis ist das rechtsstehende Bild mit k (hier 2) disjunkten Wegen zwischen
x und y im ursprünglichen Graphen G.
Fall 2. Alle trennenden Mengen mit k Ecken sind in Ex oder in Ey enthalten.
Falls es eine von x und y verschiedene Ecke v gibt, die in keiner solchen Trennmenge
vorkommt, kann man diese Ecke herausnehmen und bekommt bereits im
Restgraphen G − v (nach Induktionsannahme) k eckendisjunkte Wege zwischen
x und y. Also bleibt der Fall, daß alle Ecken außer x und y in Ex oder Ey liegen.
Ein kürzester Weg W zwischen x und y enthält dann höchstens zwei Ecken
außer x und y. Entfernt man diese, so haben in dem Restgraphen die x und y
trennenden Mengen mindestens k−1 Ecken, und die Induktionsannahme liefert
k−1 disjunkte Wege, zusammen mit W also k disjunkte Wege in G. □
G y
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