Diskrete Strukturen - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete ...

Aufgrund des letzten Satzes kann man die Wurzelbäume mit “Stammbäumen”
identifizieren; das sind Paare (G, w), die aus einem Baum G und einem
festgewählten Knoten w bestehen.
Wurzelbäume und Wurzelwälder lassen sich ebenso einfach wie Bäume und
Wälder rekursiv aufbauen, indem man die folgenden beiden Schritte iteriert:
(A) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen eines disjunkten neuen
Baumes ein neuer Wurzelwald.
(B) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen einer Wurzel, die mit
allen Wurzeln der Komponenten verbunden wird, ein Wurzelbaum.
❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞
❞ ❞ ❞ ❞ ❅
(A) + =
❅ ❅ ❅
❞
❞ ❞
❅
❞ ❞
❞
❅
❞ ❞ ❞ ❞
❞ ❅
❅
(B)
❞
❞ ❞
❅
❞ ❞
❞
❅
+ =
❅
❅
❞ ❞ ❞
❞ ❞ ❞
❅ ❅
❅
❅
Konstruktion (B) kann man noch erweitern, indem man auf jeden Knoten
eines Wurzelbaumes einen weiteren Wurzelbaum “aufpfropft”.
Der nächste Satz ist anschaulich einleuchtend, bedarf aber doch eines Beweises:
Satz 2.25 Eine endlich verkettete geordnete Menge ist genau dann ein Wurzelbaum,
wenn sie ein kleinstes Element besitzt und jedes andere Element genau
einen unteren Nachbarn (“Nachfolger”) hat.
Beweis. Ist (X, ⊑) ein Wurzelbaum und (w = x 0 , ..., x n = y) der eindeutige
Pfad von der Wurzel w nach y, so ist x n−1 der eindeutige untere Nachbar von y.
Hat umgekehrt die endlich verkettete Menge (X, ⊑) das kleinste Element w
und die genannte Nachfolge-Eigenschaft, so muß (Ψ) gelten: Zu x ⊑ z und y ⊑ z
finden wir Pfade (z = x 0 , ..., x k = x) und (z = y 0 , ..., y n = y) mit x i ⊏ ∨ x i−1 für
i ∈ k und y i ⊏ ∨ y i−1 für i ∈ n. Sei i der größte Index mit x i = y i . Im Falle i < k
und i < n wäre dann auch noch x i+1 ⊏ ∨ x i und y i+1 ⊏ ∨ x i erfüllt, also x i+1 = y i+1
im Widerspruch zur Wahl von i. Somit muß x ⊑ x i = y oder y ⊑ y i = x sein. □
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