Mathematik: Diskrete Strukturen

1.6. Weitere Abzählprinzipien 15
Wir geben wieder einen Eindruck für das Wachstum der Zahlen S n,k gemäß Theorem 1.15.
Beispiel: Der Dreiecksaufbau des rekursiven Zusammenhangs in Theorem 1.15
lässt sich wie folgt veranschaulichen:
1
0 1
0 1 1
0 1 3 1
0 1 7 6 1
0 1 15 25 10 1
0 1 31 90 65 15 1
.
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1.6 Weitere Abzählprinzipien
Im letzten Abschnitt diese Kapitels über Kombinatorik diskutieren wir noch zwei weitere
Abzählprinzipien.
Inklusion-Exklusion. Zunächst wollen wir eine Verallgemeinerung der Summenregel
(siehe Lemma 1.2) auf beliebige, nicht notwendig paarweise disjunkte Mengen angeben.
Theorem 1.16 (Inklusions-Exkusions-Prinzip) Es seien A 1 , . . . , A n endliche Mengen.
Dann gilt: ∥ ∥ ∥∥∥∥∥
⋃
n ∥∥∥∥∥ ∥ ∥
∑
∥∥∥∥ ⋂ ∥∥∥∥
A j =
(−1) 1+‖K‖ A k
j=1 ∅̸=K⊆{1,...,n}
k∈K
Beispiel:
• Für n = 2 reduzieren sich die Ausdrücke in Theorem 1.16 zu folgender
Identität:
‖A 1 ∪ A 2 ‖ = ‖A 1 ‖ + ‖A 2 ‖ − ‖A 1 ∩ A 2 ‖
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013