Mathematik: Diskrete Strukturen

3.2. Kombinatorische Prinzipien 41
⎛ ⎞ ⎛
⎞
n−1
⋃
n−1
⋃
= P(A n ) + P ⎝ A j
⎠ − P ⎝ (A n ∩ A j ) ⎠
= P(A n ) +
= P(A n ) +
=
∑
∅̸=K⊆{1,...,n}
Damit ist das Theorem bewiesen.
j=1
∑
∅̸=K⊆{1,...,n−1}
∑
∅̸=K⊆{1,...,n−1}
∑
∅̸=K⊆{1,...,n−1}
∑
∅̸=K⊆{1,...,n−1}
(−1) 1+‖K‖ · P
j=1
(−1) 1+‖K‖ · P
( ⋂
k∈K
A k
)
−
( )
⋂
(−1) 1+‖K‖ · P (A n ∩ A k )
k∈K
(nach Induktionsvoraussetzung)
( ) ⋂
(−1) 1+‖K‖ · P A k −
k∈K
⎛
(−1) 1+‖K∪{n}‖ · P ⎝
( ⋂
k∈K
A k
)
⋂
k∈K∪{n}
A k
⎞
⎠
Wir wollen auch hier das Theorem an einem Beispiel verdeutlichen.
Beispiel: Der Wahrscheinlichkeitsraum
beim (französischen) Roulette
besteht aus Ω = {0, 1, . . . , 36} mit dem
Wahrscheinlichkeitsmaß P(ω) = 1
37
für alle ω ∈ Ω. Unser Plan für ein
Spiel (coup) ist nun, einen Chip auf
schwarz“ (noir) und einen Chip auf
”
ungerade“ (impair) zu setzen. Wie
”
hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit,
dass wir nichts verlieren? Nach Inspektion
des Einsatzfeldes (siehe Abbildung
links) halten wir zunächst fest, dass es
8 schwarze ungerade Zahlen gibt. Wir
definieren folgende Ereignisse (ohne
die zugehörigen Elementarereignisse
aufzuzählen):
E s = def Menge aller schwarzen Zahlen
E u = def Menge aller ungeraden Zahlen
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013