Mathematik: Diskrete Strukturen

1.6. Weitere Abzählprinzipien 17
• Die Kardinalitäten der möglichen Schnittmengen sind
‖A i ‖ =
∥ k⋂ ∥∥∥∥∥ A ij =
∥
j=1
⌊ ⌋ 100
− 1
p i
(da p i /∈ A i )
⌊ ⌋
100
∏ k
j=1 p i j
für k ∈ {2, 3, 4} und 1 ≤ i 1 < . . . < i k ≤ 4
Nach Theorem 1.16 erhalten wir:
‖A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 ‖
(⌊ ⌋ ⌊ 100 100
= − 1 +
2
3
(⌊ ⌋ ⌊ 100 100
− +
6 10
(⌊ ⌋ ⌊ 100 100
+ +
30 42
⌊ ⌋ 100
−
210
⌋
− 1 +
⌋
+
⌋
+
⌊ ⌋ 100
− 1 +
5
⌊ ⌋ ⌊ ⌋
100 100
+ +
14 15
⌋)
⌊ 100
70
⌋
+
⌊ 100
105
⌊ 100
7
⌊ 100
21
⌋ )
− 1
⌋
+
⌊ ⌋) 100
35
= 49 + 32 + 19 + 13 − 16 − 10 − 7 − 6 − 4 − 2 + 3 + 2 + 1 + 0 − 0
= 74
Damit gibt es 99 − 74 = 25 Primzahlen zwischen 2 und 100.
Schubfachschluss. Ein weiteres wichtiges Abzählprinzip, um die Existenz von Objekten
zu beweisen, ist der Schubfachschluss (engl. pigeonhole principle).
Theorem 1.17 (Schubfachschluss) Es seien A und B endliche Mengen mit
‖A‖ > ‖B‖ > 0 und f : A → B eine Funktion. Dann gibt es ein y ∈ B mit ‖f −1 (y)‖ > 1.
Beweis: (Widerspruch) Angenommen es gilt ‖f −1 (y)‖ ≤ 1 für alle y ∈ B. Dann wissen
wir aus dem letzten Semester, dass f eine injektive Funktion ist. Daraus folgt ‖A‖ ≤ ‖B‖.
Dies ist ein Widerspruch zu ‖A‖ > ‖B‖. Mithin war die Annahme falsch, und das Theorem
ist beweisen.
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013