Mathematik: Diskrete Strukturen

2.3. Erzeugende Funktionen 27
• Indexverschiebung aufwärts: Für die Potenzreihe zu der Folge, die aus der Transformation
a 0 , a 1 , a 2 , . . . ↦→ 0, 0, . . . , 0, a
} {{ } 0 , a 1 , a 2 , . . . resultiert, gilt
m
∞∑
∞∑
a k · x m+k = x m · a k · x k
k=0
• Indexverschiebung abwärts: Für die Potenzreihe zu der Folge, die aus der Transformation
a 0 , a 1 , a 2 . . . ↦→ a m , a m+1 , a m+2 , . . . resultiert, gilt
(
∞∑
∞∑
∞
)
∑
m−1
∑
a k+m · x k = x −m · a k+m · x k+m = x −m · a k · x k − a k · x k
k=0
k=0
• Differenzieren: Für die erste Ableitung der Potenzreihe zu a 0 , a 1 , . . . gilt
(
∑ ∞
) ′ ∞∑
∞∑
∞∑
x k = (a k · x k ) ′ = k · a k · x k−1 = (k + 1)a k+1 · x k
k=0
k=0
k=0
Die Ableitung einer Potenzreihe entspricht somit der Transformation auf Folgen:
a 0 , a 1 , a 2 , . . . , a k , . . . ↦→ a 1 , 2a 2 , . . . , ka k , . . .
Die im Zusammenhang mit linearen Rekursionsgleichungen fundamentale Potenzreihe ist
die geometrische Reihe
A(x) = def
d.h. die formale Potenzreihe von 1, 1, 1, . . . Die erzeugende Funktion A(x) können wir wie
folgt explizit bestimmen:
∞∑
∞∑
∞∑
∞∑
A(x) = x k = 1 + x k = 1 + x · x k−1 = 1 + x · x k = 1 + x · A(x)
k=0
k=1
k=1
∞ ∑
k=0
x k ,
Die erzeugende Funktion der Folge 1, 1, 1, . . . ist somit:
A(x) = 1
1 − x
k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
Beispiele: Wir wollen die erzeugende Funktion A(x) = (1−x) −1 von 1, 1, 1, . . .
benutzen, um beispielhaft weitere Potenzreihen und erzeugende Funktionen zu
bestimmen.
1. Die erzeugende Funktion B(x) von 1, 2, 3, 4, . . . ist die erste Ableitung von
A(x):
( ) 1 ′
B(x) = A ′ 1
(x) = =
1 − x (1 − x) 2
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013