Mathematik: Diskrete Strukturen

2.2. Lineare Rekursionsgleichungen 25
Beweis: (Induktion) Wir zeigen das Theorem nur für den Fall α ≠ β und verwenden
dazu wiederum vollständige Induktion über n.
• Induktionsanfang: Es sei n ∈ {0, 1}. Für n = 0 gilt
x 0 = Aα 0 − Bβ 0 = A − B = b 1 − b 0 β − b 1 + b 0 α
α − β
und für n = 1 gilt
x 1 = Aα 1 − Bβ 1 = Aα − Bβ = b 1α − b 0 αβ − b 1 β + b 0 αβ
α − β
• Induktionsschritt: Es sei n > 1. Dann gilt:
= b 0 · α − β
α − β = b 0
= b 1 · α − β
α − β = b 1.
x n = a 1 · x n−1 + a 2 · x n−2 (nach Definition)
= a 1 · (Aα n−1 − Bβ n−1) + a 2 · (Aα n−2 − Bβ n−2)
= a 1 Aα n−1 + a 2 Aα n−2 − a 1 Bβ n−1 − a 2 Bβ n−2
= Aα n−2 · (a 1 α + a 2 ) − Bβ n−2 · (a 1 β + a 2 )
= Aα n−2 · α 2 − Bβ n−2 · β 2
= Aα n − Bβ n
Damit ist das Theorem bewiesen.
(nach Induktionsvoraussetzung)
(wegen α 2 − a 1 α − a 2 = 0 und β 2 − a 1 β − a 2 = 0)
Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist durch eine homogene, lineare Rekursionsgleichung
zweiter Ordnung gegeben. Somit kann das Theorem 2.5 angewendet werden.
Korollar 2.6 Für alle n ∈ N gilt
(
F n = √ 1
5
1 + √ ) n (
5
− √ 1
2 5
1 − √ ) n
5
2
Beweis: Nach Definition der Fibonacci-Zahlen ist a 1 = a 2 = 1. Die Nullstellen von
t 2 − t − 1 sind
α = 1 2 + 1 √ 1
5, β =
2
2 − 1 √
5.
2
Für A und B rechnen wir aus:
A = 1 − 0 · β √
5
= 1 √
5
,
B = 1 − 0 · α √
5
= 1 √
5
Aus Theorem 2.5 folgt die Formel und das Korollar ist bewiesen.
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013