Mathematik: Diskrete Strukturen

3.4. Unabhängigkeit 47
Aus der Beschreibung sind die Wahrscheinlichkeiten
P(A|B) = 0, 98, P(B) = 0, 0001, P(A|B) = 0, 0005
bekannt. Mit Hilfe das Satzes von Bayes errechnen wir damit die gesuchte
Wahrscheinlichkeit P(B|A) zu
P(B|A) =
=
P (A|B) · P(B)
P(A|B) · P(B) + P(A|B) · P(B)
0, 98 · 0, 0001
0, 98 · 0, 0001 + 0, 0005 · (1 − 0, 0001)
= 0, 1639 . . .
Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei ausgelöstem Feueralarm tatsächlich brennt,
ist angesichts der Ausgangsparameter mit ≈ 16, 39% überraschend niedrig.
3.4 Unabhängigkeit
Ein fundamentales Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Unabhängigkeit von
Ereignissen.
Definition 3.9 Es seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω
Ereignisse. A und B heißen unabhängig, falls P(A ∩ B) = P(A) · P(B) gilt.
Die folgende Proposition gibt eine intuitive Interpretation der Definition der Unabhängigkeit
zweier Ereignisse. Es wird aber deutlich, dass Definition 3.9 allgemeiner ist, da sie
auch bei verschwindenden Wahrscheinlichkeit angewendet werden kann.
Proposition 3.10 Es seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω
Ereignisse mit P(A) > 0 und P(B) > 0. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. A und B sind unabhängig
2. P(A|B) = P(A)
3. P(B|A) = P(B)
Beweis: Wegen P(A) > 0 und P(B) > 0 sind alle bedingten Wahrscheinlichkeit wohldefiniert.
Wir zeigen lediglich die Äquivalenz (1) ⇔ (2). Durch Vertauschung von A und B
ergibt sich sofort auch die Äquivalenz (1) ⇔ (3).
• (1) ⇒ (2): A und B seien unabhängig, d.h., es gilt P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Es folgt
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
P(A) · P(B)
P(B)
= P(A).
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013