Mathematik: Diskrete Strukturen

Wahrscheinlichkeitstheorie 3
In diesem Kapitel legen wir die Grundlagen der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie, wie
sie in den informatischen Disziplinen häufig zur Anwendung kommen.
3.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
Definition 3.1 Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, P), wobei
• Ω = {ω 1 , ω 2 , . . .} eine abzählbare Menge von Elementarereignissen ω j und
• P : Ω → [0, 1] mit ∑ ω∈Ω
P(ω) = 1 ein Wahrscheinlichkeitsmaß sind.
Eine Menge E ⊆ Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses ist
definiert als
∑
P(E) = def P(ω).
ω∈E
Bemerkungen: Wir führen einige zusätzliche Anmerkungen zu obiger Definition an.
1. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eigentlich eine Funktion P(Ω) → [0, 1]; statt
P({ω j }) schreiben wir jedoch weiterhin P(ω j ).
2. Die leere Menge ∅ heißt unmögliches Ereignis, da P(∅) = 0 gilt; die volle Menge Ω
heißt sicheres Ereignis, da P(Ω) = 1 gilt.
3. Statt P(A) schreiben wir auch P[x ∈ A].
4. Gilt P(ω) = P(ω ′ ) für alle ω, ω ′ ∈ Ω, so heißt P gleichverteilt.
Wir wollen die Begriffsbildungen an Hand einiger Beispiele verdeutlichen.
Beispiel: Wir modellieren zunächst den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) für
den idealen Würfel. Die Menge der Elementarereignisse ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist die Gleichverteilung, d.h. P(ω) = 1 6
für alle
ω ∈ Ω. Betrachten wir das Ereignis E = {1, 3, 5}, so ergibt sich:
P(E) = P[
Würfel zeigt eine ungerade Augenzahl“ ]
”
= 1 6 + 1 6 + 1 6 = 1 2
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013