Mathematik: Diskrete Strukturen

2.4. Höhere Rekursionsgleichungen 35
= 1 +
= 1 +
∞∑
n=1
∞∑
n=1
= 1 − 1 2 ·
= 1 − z 2 ·
f (n) (0)
n!
· z k
(
− 1 )
· 1 n−1
2 n! ·
∏ 2k − 1
· z n
2
k=1
∞∑
n∏
n=0
∞∑
n=0
1
(n + 1)! ·
1
(n + 1)! ·
n=0
k=1
n∏
k=1
Daraus folgt nun für 1 − √ 1 − 4x = 1 − f(4x):
1 − √ (
1 − 4x = 1 − 1 − 4x ∞∑
2 · 1
(n + 1)! ·
= 2x ·
∞∑
n=0
2 n
(n + 1)! ·
2k − 1
2
2k − 1
2
n∏
k=1
n∏
(2k − 1) · x n
k=1
· z n+1
· z n
2k − 1
2
· 4 n · x n )
Mithin erhalten wir für die erzeugende Funktion C(x):
C(x) =
∞∑
n=0
2 n
(n + 1)! ·
n∏
(2k − 1) · x n
6. Koeffizientenvergleich: Aus der Potenzreihendarstellung von C(x) gewinnen für n ∈ N:
k=1
C n =
=
=
=
2 n
(n + 1)! ·
n∏
(2k − 1)
k=1
2 n
2 · 4 · 6 · · · · · (2n)
· 1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1) ·
(n + 1)! 2 · 4 · 6 · · · · · (2n)
2 n
(n + 1)! ·
1
n + 1( 2n
n
(2n)!
2 n · n!
)
Damit ist das Theorem bewiesen.
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013