Mathematik: Diskrete Strukturen

3.3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 43
M enthält also 52 Spielkarten. Die Menge der Elementarereignisse ist damit
Ω = { {x, y} | x, y ∈ M, x ≠ y }, d.h. ‖Ω‖ = ( )
52
2 = 1326. Wir interessieren
uns für das Ereignis E p = pocket pair“, d.h., dass wir sofort zwei Karten des
”
gleichen Wertes auf der Hand haben:
P(E p ) =
∑
( 4 1
P(ω) = 13 · ·
2)
1326 = 78
1326 = 3 = 0, 0588 . . .
51
ω∈E p
Bemerkungen: In Theorem 3.4 entspricht die Gleichverteilung auf der Menge der Elementarereignisse
für den Fall ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen“ nicht der Wahrscheinlichkeitsverteilung
beim ungeordneten Ziehen mit Zurücklegen. Wenn zum Beispiel zweimal
”
gezogen wird, dann ist in letzterem Szenario die Wahrscheinlichkeit, dass das erste und
das zweite Element gezogen wird, doppelt so groß, wie zweimal das erste Element zu ziehen.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für die Elementarereignisse nicht gleichverteilt. Die
Wahrscheinlichkeit für ein Elementarereignis ω = (a 1 , . . . , a n ) ∈ Ω ergibt sich wie folgt:
P(ω) = 1 n k ·
k!
a 1 !a 2 ! . . . a n !
= 1 n k ·
( )( )
k k − a1
· · · · ·
a 1 a 2
( )
k − (a1 + a 2 · · · + a n−1 )
a n
3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Im Folgenden interessieren wir uns für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt
unter der Bedingung, dass ein bestimmtes Ereignis B ebenfalls eintritt.
Definition 3.5 Es seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ⊆ Ω
Ereignisse mit P(B) > 0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) von A unter der Bedingung
B ist definiert als
P(A ∩ B)
P(A|B) = def .
P(B)
Es gilt ganz offensichtlich stets 0 ≤ P(A|B) ≤ 1 (letzteres wegen P(A ∩ B) ≤ P(B)).
Beispiel: Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum zu ”
zweimal Würfeln“,
d.h. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 mit Gleichverteilung P. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
seien folgende Ereignisse definiert:
A = def { (j, k) | j + k ≥ 9 } ⊆ Ω
B i = def { (j, k) | j = i } für i ∈ {1, . . . , 6}
Extensional lassen sich die Ereignisse wie folgt beschreiben:
A = { (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
B i = { (i, 1), (i, 2), (i, 3), (i, 4), (i, 5), (i, 6) }
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