Mathematik: Diskrete Strukturen

2.4. Höhere Rekursionsgleichungen 33
Das Wort v enthält k − 1 öffnende Klammern, w enthält n − k öffnende Klammern. Somit
folgt ‖A n,k ‖ = C k−1 · C n−k . Wegen A n,k ∩ A n,k ′ = ∅ für k ≠ k ′ gilt
∥ n⋃ ∥∥∥∥ n∑
n∑
C n =
A
∥ n,k = ‖A n,k ‖ = C k−1 · C n−k .
k=1
Damit ist das Lemma bewiesen.
k=1
k=1
Theorem 2.8 Für alle n ∈ N gilt
C n = 1 ) 2n
n + 1(
n
Beweis: Wir verwenden die Methode der erzeugenden Funktion.
1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe: Wir definieren C(x) als
C(x) = def
∞ ∑
n=0
C n · x n
2. Anwendung der Rekursionsgleichung: Mit Hilfe von Lemma 2.7 erhalten wir
)
∞∑
∞∑
C(x) = 1 + C n · x n = 1 + C k−1 · C n−k x n
n=1
n=1
( n∑
k=1
3. Umformen der rechten Seite nach der erzeugenden Funktion: Wir rechnen weiter aus
)
∞∑
C(x) = 1 + C k−1 · C n−k x n
( n∑
n=1 k=1
(
∞∑ n−1
)
∑
= 1 + C k · C n−1−k x n
n=1 k=0
(
∞∑ n−1
)
∑
= 1 + x · C k · C n−1−k x n−1
n=1 k=0
)
∞∑
= 1 + x · C k · C n−k x n
( n∑
n=0 k=0
( ∞
) 2
∑
= 1 + x · C n · x n
n=0
= 1 + x · C(x) 2
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013