Mathematik: Diskrete Strukturen

3.1. Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 39
Die Wahrscheinlichkeit, dass im nächsten Schritt eine Rechenoperation ansteht,
ergibt sich damit als
P ({(CPU, CPU), (I/O, CPU)}) = 0, 24 + 0, 175 = 0, 415
Lemma 3.2 Es seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und A, B, A 1 , . . . ,
A n ⊆ Ω Ereignisse. Dann gilt:
1. P(∅) = 0 ≤ P(A) ≤ 1 = P(Ω).
2. P(A) = 1 − P(A).
3. Ist A ⊆ B, so gilt P(A) ≤ P(B).
4. Sind A 1 , . . . , A n paarweise disjunkt, so gilt
⎛ ⎞
n⋃
n∑
P ⎝ A j
⎠ = P(A j ).
j=1
j=1
Beweis: Wir beweisen die Aussagen einzeln:
1. folgt direkt aus Definition 3.1 (siehe auch die nachfolgenden Bemerkungen).
2. Es gilt:
1 = P(Ω) (nach Aussage 1)
= ∑ P(ω)
ω∈Ω
(nach Definition 3.1)
= ∑ ω∈A
P(ω) + ∑ ω /∈A
P(ω) (wegen A ∪ A = Ω)
= P(A) + P(A) (nach Definition 3.1)
Somit folgt P(A) = 1 − P(A).
3. Es gilt:
P(B) = ∑ P(ω) (nach Definition 3.1)
ω∈B
= ∑ ∑
P(ω) + P(ω) (wegen A ⊆ B bzw. A ∪ (B \ A) = B)
ω∈A
ω∈B\A
= P(A) + P(B \ A) (nach Definition 3.1)
Daraus folgt P(B) − P(A) = P(B \ A) ≥ 0, d.h. P(A) ≤ P(B).
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013