Mathematik: Diskrete Strukturen

2.2. Lineare Rekursionsgleichungen 23
Mit dem Wissen um die Formel
(
F n = √ 1
5
1 + √ ) n (
5
− √ 1
2 5
1 − √ ) n
5
(2.1)
2
folgt k ∗ = O(log n) und damit eine asymptotisch präzise Aussage über das Laufzeitverhalten
von Euklid. Der Algorithmus terminiert also für alle Eingaben mit höchstens
logarithmisch vielen rekursiven Aufrufen im Wert der größeren Zahl und ist damit schnell.
Im Folgenden wollen Gleichheiten wie die Formel (2.1) beweisen und auch herleiten.
2.2 Lineare Rekursionsgleichungen
Definition 2.3 Eine Rekursionsgleichung der Form
x n = a 1 x n−1 + · · · + a k x n−k + b k
für alle n ≥ k
mit den Anfangsbedingungen
x i = b i für alle i ∈ {0, . . . , k − 1}
heißt lineare Rekursionsgleichung k-ter Ordnung. Für b k = 0 heißt die Rekursionsgleichung
homogen sonst inhomogen.
Beispiel: Die einfachsten, nicht trivialen Rekursionsgleichungen sind homogene,
lineare Rekursionsgleichungen erster Ordnung:
x n = a · x n−1 für n ≥ 1
x 0 = b 0
Die Lösung der Gleichung ist sofort einzusehen: x n = b 0 · a n .
Theorem 2.4 Es sei eine inhomogene, lineare Rekursionsgleichung erster Ordnung
x n = a · x n−1 + b 1 für n ≥ 1
x 0 = b 0
mit beliebigen Konstanten a, b 0 , b 1 gegeben. Dann hat die Lösung der Gleichung die Form:
⎧
⎨
b
x n = 0 · a n + b 1 · an − 1
a − 1 , falls a ≠ 1
⎩
b 0 + n · b 1 falls a = 1
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013