Mathematik: Diskrete Strukturen

2.3. Erzeugende Funktionen 29
Mithin gilt also für das k-te Folgenglied der zu A(x) gehörenden Folge
a k = A(k) (0)
k!
und die zu A(x) gehörende Potenzreihe ist die Taylor-Reihe von A(x) (um den Entwicklungspunkt
x 0 = 0):
∞∑ A (k) (0)
A(x) =
· x k
k!
k=0
Beispiel: Es gilt (e x ) ′ = e x und somit
e x =
∞∑
k=0
1
k! · xk .
Die Methode der erzeugenden Funktionen. Lineare Rekursionsgleichungen können
nun mit Hilfe der auf formalen Potenzreihen basierenden Methode der erzeugenden
Funktionen gelöst werden. Diese Methode vollzieht sich in einer Reihe von Rechenschritten
(siehe Kasten).
Schema der Methode der erzeugenden Funktion zur Auflösung linearer
Rekursionsgleichungen k-ter Ordnung:
1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe
2. Anwendung der Rekursionsgleichung
3. Umformen der rechten Seite nach der erzeugenden Funktion
4. Auflösen nach der erzeugenden Funktion
5. Ersetzen der neuen rechten Seite durch eine Potenzreihe (Taylor-Reihe)
6. Koeffizientenvergleich (nach dem Identitätssatz für Potenzreihen)
Wir wollen die Methode der erzeugenden Funktion exemplarisch an den Fibonacci-Zahlen
nachvollziehen.
1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe
Für die Folge (F n ) n∈N definieren wir die erzeugende Funktion F (x) als Potenzreihe:
F (x) = def
∞ ∑
n=0
F n · x n
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013