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Mathematik: Diskrete Strukturen

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2.3. Erzeugende Funktionen 29<br />

Mithin gilt also für das k-te Folgenglied der zu A(x) gehörenden Folge<br />

a k = A(k) (0)<br />

k!<br />

und die zu A(x) gehörende Potenzreihe ist die Taylor-Reihe von A(x) (um den Entwicklungspunkt<br />

x 0 = 0):<br />

∞∑ A (k) (0)<br />

A(x) =<br />

· x k<br />

k!<br />

k=0<br />

Beispiel: Es gilt (e x ) ′ = e x und somit<br />

e x =<br />

∞∑<br />

k=0<br />

1<br />

k! · xk .<br />

Die Methode der erzeugenden Funktionen. Lineare Rekursionsgleichungen können<br />

nun mit Hilfe der auf formalen Potenzreihen basierenden Methode der erzeugenden<br />

Funktionen gelöst werden. Diese Methode vollzieht sich in einer Reihe von Rechenschritten<br />

(siehe Kasten).<br />

Schema der Methode der erzeugenden Funktion zur Auflösung linearer<br />

Rekursionsgleichungen k-ter Ordnung:<br />

1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe<br />

2. Anwendung der Rekursionsgleichung<br />

3. Umformen der rechten Seite nach der erzeugenden Funktion<br />

4. Auflösen nach der erzeugenden Funktion<br />

5. Ersetzen der neuen rechten Seite durch eine Potenzreihe (Taylor-Reihe)<br />

6. Koeffizientenvergleich (nach dem Identitätssatz für Potenzreihen)<br />

Wir wollen die Methode der erzeugenden Funktion exemplarisch an den Fibonacci-Zahlen<br />

nachvollziehen.<br />

1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe<br />

Für die Folge (F n ) n∈N definieren wir die erzeugende Funktion F (x) als Potenzreihe:<br />

F (x) = def<br />

∞ ∑<br />

n=0<br />

F n · x n<br />

Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013

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