Mathematik: Diskrete Strukturen
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2.3. Erzeugende Funktionen 29<br />
Mithin gilt also für das k-te Folgenglied der zu A(x) gehörenden Folge<br />
a k = A(k) (0)<br />
k!<br />
und die zu A(x) gehörende Potenzreihe ist die Taylor-Reihe von A(x) (um den Entwicklungspunkt<br />
x 0 = 0):<br />
∞∑ A (k) (0)<br />
A(x) =<br />
· x k<br />
k!<br />
k=0<br />
Beispiel: Es gilt (e x ) ′ = e x und somit<br />
e x =<br />
∞∑<br />
k=0<br />
1<br />
k! · xk .<br />
Die Methode der erzeugenden Funktionen. Lineare Rekursionsgleichungen können<br />
nun mit Hilfe der auf formalen Potenzreihen basierenden Methode der erzeugenden<br />
Funktionen gelöst werden. Diese Methode vollzieht sich in einer Reihe von Rechenschritten<br />
(siehe Kasten).<br />
Schema der Methode der erzeugenden Funktion zur Auflösung linearer<br />
Rekursionsgleichungen k-ter Ordnung:<br />
1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe<br />
2. Anwendung der Rekursionsgleichung<br />
3. Umformen der rechten Seite nach der erzeugenden Funktion<br />
4. Auflösen nach der erzeugenden Funktion<br />
5. Ersetzen der neuen rechten Seite durch eine Potenzreihe (Taylor-Reihe)<br />
6. Koeffizientenvergleich (nach dem Identitätssatz für Potenzreihen)<br />
Wir wollen die Methode der erzeugenden Funktion exemplarisch an den Fibonacci-Zahlen<br />
nachvollziehen.<br />
1. Aufstellen der erzeugenden Funktion als Potenzreihe<br />
Für die Folge (F n ) n∈N definieren wir die erzeugende Funktion F (x) als Potenzreihe:<br />
F (x) = def<br />
∞ ∑<br />
n=0<br />
F n · x n<br />
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013