Mathematik: Diskrete Strukturen

3.3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 45
Theorem 3.6 (Multiplikationsregel) Es seien (Ω, P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
und A 1 , . . . , A n ⊆ Ω Ereignisse mit P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) > 0. Dann gilt
P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) =
n∏
P(A i |A 1 ∩ . . . ∩ A i−1 )
i=1
Beweis: Wegen P(A 1 ) ≥ P(A 1 ∩ A 2 ) ≥ . . . ≥ P(A 1 ∩ . . . ∩ A n ) > 0 sind alle bedingten
Wahrscheinlichkeit wohldefiniert. Wir beweisen das Theorem mittels vollständiger Induktion
über die Anzahl n der Mengen:
• Induktionsanfang n = 1: Es gilt P(A 1 ) = P(A 1 |Ω).
• Induktionsschritt n > 1: Wegen P(A|B) · P(B) = P(A ∩ B) gilt:
P(A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 ∩ A n ) = P(A n |A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 ) · P(A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 )
Damit ist das Theorem bewiesen.
n−1
∏
= P(A n |A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 ) · P(A i |A 1 ∩ . . . ∩ A i−1 )
=
i=1
(nach Induktionsvoraussetzung für n − 1)
n∏
P(A i |A 1 ∩ . . . ∩ A i−1 )
i=1
Beispiel: Das Geburtstagsproblem besteht darin zu bestimmen, wie groß die
Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass unter n Personen zwei am gleichen Tag
Geburtstag feiern. Zur Lösung dieses Problems nehmen wir an, dass Geburtstage
gleich wahrscheinlich für jeden Tag des Jahres sind und es keine Schaltjahre
gibt. Ist n > 365, so ist die Wahrscheinlichkeit P n = 1 nach dem
Schubfachprinzip. Für 1 ≤ n ≤ 365 sei die Menge der Elementarereignisse
Ω n = {1, . . . , 365} n . Wir betrachten folgende Ereignisse
A i = def
i-te Person feiert nicht am gleichen Tag wie eine der Personen
”
1, . . . , i − 1 Geburtstag“
Damit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P n :
P n = 1 − P(A 1 ∩ . . . ∩ A n )
= 1 − P(A 1 ) · P(A 2 |A 1 ) · · · · · P(A n |A 1 ∩ . . . ∩ A n−1 )
n∏ 365 − i + 1
365!
= 1 −
= 1 −
365
365 n · (365 − n)!
i=1
Die Wahrscheinlichkeit P n steigt sehr schnell. So gilt zum Beispiel P 23 > 1 2 ,
d.h., bereits unter 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen
am gleichen Tag Geburtstag feiern größer als 50%.
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013