01.03.2014 Aufrufe

Mathematik: Diskrete Strukturen

Mathematik: Diskrete Strukturen

Mathematik: Diskrete Strukturen

MEHR ANZEIGEN
WENIGER ANZEIGEN

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.

2.3. Erzeugende Funktionen 31<br />

und versuchen A, B, α und β geeignet zu bestimmen. Mit Hilfe des Ansatzes erhalten wir<br />

dann für F (x) unter Verwendung der geometrischen Reihe:<br />

∞∑<br />

∞∑<br />

F (x) = A (αx) n + B (βx) n<br />

n=0<br />

Gemäß dem Ansatz müssen die Parameter die beiden folgenden Gleichungen erfüllen:<br />

n=0<br />

(1 − αx)(1 − βx) = 1 − x − x 2 (2.2)<br />

A(1 − βx) + B(1 − αx) = x (2.3)<br />

Aus Gleichung (2.2) folgt 1−(α+β)x+αβx 2 = 1−x−x 2 und mithin durch Koeffizientenvergleich<br />

α + β = 1 und αβ = −1. Daraus folgt α(1 − α) = −1 und somit α 2 − α − 1 = 0.<br />

Durch Bestimmung der Nullstellen erhalten wir<br />

α = 1 + √ 5<br />

2<br />

Aus Gleichung (2.3) folgt zunächst:<br />

, β = 1 − √ 5<br />

.<br />

2<br />

x = A(1 − βx) + B(1 − αx)<br />

= A − Aβx + B − αBx<br />

= A + B − (Aβ + Bα)x<br />

Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die Bedingungen A+B = 0 und Aβ +Bα = −1.<br />

Folglich muss A(β − α) = −1 gelten. Durch Einsetzen der konkreten Werte für α und β<br />

erhalten wir:<br />

(<br />

1 − √ 5<br />

A − 1 + √ )<br />

5<br />

= −A √ 5 = −1<br />

2 2<br />

Damit finden wir für die Parameter A und B die Werte<br />

A = √ 1 , B = −√ 1 .<br />

5 5<br />

Die erzeugende Funktion F (x) ist somit durch folgende Potenzreihe ausdrückbar:<br />

F (x) = √ 1 ∞ (<br />

∑ 1 + √ ) n<br />

5<br />

· x − 1 ∞ (<br />

∑ 1 − √ ) n<br />

5<br />

√ · x<br />

5 2<br />

n=0<br />

5 2<br />

n=0<br />

[ (<br />

∞∑ 1 1 + √ ) n (<br />

5<br />

= √ − 1 1 − √ ) n ]<br />

5<br />

√ · x n<br />

5 2<br />

5 2<br />

6. Koeffizientenvergleich<br />

n=0<br />

Da wir die für F (x) angesetzte Potenzreihe nur algebraisch äquivalent umgeformt haben,<br />

können wir einen Koeffizientenvergleich durchführen und erhalten als Ergebnis für die n-te<br />

Fibonacci-Zahl:<br />

( ) n ( ) n<br />

F n = √ 1<br />

− √ 1<br />

5 5<br />

1 + √ 5<br />

2<br />

1 − √ 5<br />

2<br />

Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013

Hurra! Ihre Datei wurde hochgeladen und ist bereit für die Veröffentlichung.

Erfolgreich gespeichert!

Leider ist etwas schief gelaufen!