Mathematik: Diskrete Strukturen

2.3. Erzeugende Funktionen 31
und versuchen A, B, α und β geeignet zu bestimmen. Mit Hilfe des Ansatzes erhalten wir
dann für F (x) unter Verwendung der geometrischen Reihe:
∞∑
∞∑
F (x) = A (αx) n + B (βx) n
n=0
Gemäß dem Ansatz müssen die Parameter die beiden folgenden Gleichungen erfüllen:
n=0
(1 − αx)(1 − βx) = 1 − x − x 2 (2.2)
A(1 − βx) + B(1 − αx) = x (2.3)
Aus Gleichung (2.2) folgt 1−(α+β)x+αβx 2 = 1−x−x 2 und mithin durch Koeffizientenvergleich
α + β = 1 und αβ = −1. Daraus folgt α(1 − α) = −1 und somit α 2 − α − 1 = 0.
Durch Bestimmung der Nullstellen erhalten wir
α = 1 + √ 5
2
Aus Gleichung (2.3) folgt zunächst:
, β = 1 − √ 5
.
2
x = A(1 − βx) + B(1 − αx)
= A − Aβx + B − αBx
= A + B − (Aβ + Bα)x
Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die Bedingungen A+B = 0 und Aβ +Bα = −1.
Folglich muss A(β − α) = −1 gelten. Durch Einsetzen der konkreten Werte für α und β
erhalten wir:
(
1 − √ 5
A − 1 + √ )
5
= −A √ 5 = −1
2 2
Damit finden wir für die Parameter A und B die Werte
A = √ 1 , B = −√ 1 .
5 5
Die erzeugende Funktion F (x) ist somit durch folgende Potenzreihe ausdrückbar:
F (x) = √ 1 ∞ (
∑ 1 + √ ) n
5
· x − 1 ∞ (
∑ 1 − √ ) n
5
√ · x
5 2
n=0
5 2
n=0
[ (
∞∑ 1 1 + √ ) n (
5
= √ − 1 1 − √ ) n ]
5
√ · x n
5 2
5 2
6. Koeffizientenvergleich
n=0
Da wir die für F (x) angesetzte Potenzreihe nur algebraisch äquivalent umgeformt haben,
können wir einen Koeffizientenvergleich durchführen und erhalten als Ergebnis für die n-te
Fibonacci-Zahl:
( ) n ( ) n
F n = √ 1
− √ 1
5 5
1 + √ 5
2
1 − √ 5
2
Version v2.24 Fassung vom 19. Juli 2013