Lösung 9 - Quack

sind
K = exp(−∆ r G ⊖ 1400 K
/(R × 1400 K)) ≃ 64.1 (78)
für die Reaktion (a) und
K = 1.37 · 10 10 (79)
für die Reaktion (b).
Anmerkung: Eine thermodynamisch günstige Reaktionsenthalpie oder Reaktionsgibbsenergie
bedeutet nicht zwangsläufig, dass die Reaktion tatsächlich experimentell
beobachtet wird. So kann etwa die Aktivierungsenergie so hoch sein, dass bei
einer bestimmten Temperatur die Reaktion zu langsam ist, um sie im Experiment
zu beobachten.
9.9 Für die Definition p, p + 2, p + 4 lässt sich nur ein Beispiel eines Primzahldrillings“
”
finden, nämlich (3, 5, 7), da in einer Menge von drei aufeinander folgenden ungeraden
Zahlen ansonsten immer eine durch drei teilbar ist. Dr. S.C.H. Lau ändert also
seine Definition der Primzahldrilinge, so dass es wieder interessanter wird. Unter
Primzahldrillingen versteht man dann Primzahlen der Menge p, p + 2, p + 6 oder
p, p + 4, p + 6.
Unter der Annahme, dass das Auffinden einer Primzahl bzw. eines Primzahlzwillings
statistisch unabhängige Ereignisse sind, kann die mittlere Wahrscheinlichkeitsdichte
des Auffindens eines Primzahldrillings als Produkt der mittleren Wahrscheinlichkeitsdichten
der Primzahlen und Primzahlzwillinge dargestellt werden. Da die
Verteilung der Primzahlen und Primzahlzwillinge in der Menge der natürlichen
Zahlen keinem bekannten Algorithmus folgt, liegt die Vermutung nahe, dass ihre
Verteilung statistisch ist und unsere Annahme gerechtfertigt ist. Tatsächlich haben
Paul Bateman und Roger Horn in 1962 die sogenannte Bateman-Horn-Vermutung
aufgestellt, die eine Aussage über die Häufigkeit von Primzahlen innerhalb eines
Systems von Polynomen trifft. Wählt man für ein System bestehend aus drei
Polynomen die Bedingungen für einen Primzahldrilling, d.h. p, p + 2, p + 6 oder
p, p + 4, p + 6 und verwendet den von Bateman und Horn vorgeschlagenen Formalismus,
erhält man tatsächlich für die mittlere Wahrscheinlichkeitsdichte für beide
Polynomialsysteme 〈ρ PPP (N)〉 = C 3 · (1/ ln N) 3 , wobei C 3 eine reelle Konstante
ist. Aus dieser bis dato allerdings immer noch unbewiesenen Vermutung kann die
Aussage von Dr. S.C.H. Lau also als richtig antizipiert werden.
Um die Aussage empirisch zu prüfen, kann die Funktion 〈ρ PPP (N)〉 = C 3 ·(1/ ln N) 3
mit den berechneten Werten der Primzahldrillingsdichte analog zur Aufgabe 7.9
verglichen werden. Die Primzahldrillingsdichte für beide oben beschriebenen Fälle
wurde jeweils im Intervall ∆ = 10 6 bestimmt. Die Konstante C 3 in der Funktion
〈ρ PPP (N)〉 = C 3 · (1/ ln N) 3 kann dann als Mittelwert der Division der berechneten
Primzahldichte und der Funktion (1/ ln N) 3 ermittelt werden. Man erhält einen
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