Lösung 9 - Quack

Relaxationsmethoden beruhen darauf, den Gleichgewichtszustand eines Systems
durch schnelle Änderung eines äusseren Parameters (wie der Temperatur) zu stören,
um dann das System auf seinem Weg in die Gleichgewichtslage zu beobachten. Ist
diese Gleichgewichtsstörung hinreichend klein,
∆x ≪ [X i ] eq mit ∆x = ([X i ] eq − [X i ])/ν i (10)
so lässt sich der Relaxationsvorgang eines einstufigen Reaktionssystems durch eine
lineare Differentialgleichung darstellen (vgl. Skript Kap. 3.4).
Die Reaktion (2) auf dem Aufgabenblatt ist eine Reaktion vom Typ:
A + B
Es gilt (Stöchiometrie A + B = P):
Geschwindigkeitsgesetz:
k
−→
a
←− P . (11)
kb
[A] = [A] eq + ∆x [P] = [P] eq − ∆x (12)
[B] = [B] eq + ∆x
d[A]
dt
= −k a [A][B] + k b [P] (13)
Obige Ausdrücke einsetzen, ausmultiplizieren, Gleichgewichtsbedingung berücksichtigen
und den ∆x 2 -Term vernachlässigen ergibt:
)
d∆x
≈ −
(k a ([A] eq + [B] eq ) + k b ∆x (14)
dt
Also
τ R =
Der Ausdruck für die Relaxationszeit ist deshalb
τ R =
1
k a ([A] eq + [B] eq ) + k b
(15)
1
k a ([H + ] eq + [OH − ] eq ) + k b
. (16)
Eine zusätzliche Gleichung erhalten wir aus der Gleichgewichtsbedingung:
d[H + ] eq
dt
= 0 = −k a [H + ] eq [OH − ] eq + k b [H 2 O] eq (17)
Auflösen dieser beiden Gleichungen nach k a unter Verwendung von τ R = 3.7 · 10 −5 s
und [H 2 O] eq = 55.38 mol dm −3 ergibt
k a =
τ R
([H + ] eq + [OH − ] eq + [H + ] eq [OH − ] eq [H 2 O] −1
eq
1
) (18)
= 1.46 · 10 11 dm 3 mol −1 s −1 . (19)
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