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2 Grundlagen der Bildverarbeitung von-Neumann Nachbarschaft Moore Nachbarschaft Abb. 2.3: 2D-Nachbarschaftsbeziehungen Im dreidimensionalen kann man ähnliche Nachbarschaften definieren. c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 12 –
3 Fourier-Darstellung von Bildern 3.1 Sinus- und Cosinus-Schwingungen Im folgenden werden häufig die Sinus- und Cosinusfunktionen (harmonische Funktionen) benötigt. Deswegen sollen hier kurz einige wichtige EIgenscgaften zusammengestellt werden: Beziehung zwischen Sinus und Cosinus: cos(α) = sin(α + π/2) = sin(α + 90 ◦ ) 3.1.1 Geometrische 1D-Repräsentation In Abb. 3.1 sind eindimensionale Sinus- und Cosinus-Schwingungen gezeigt. 1 0 cos(2 kx) sin(2 kx) k = 1 x 1 sin(2 kx) sin(2 kx + ) (phasenverschobene Schwingung) -1 1 sin(2 2kx) (doppelte Frequenz 2k) 0 x 0 -1 x -1 x Abb. 3.1: 1D-Sinus- und Cosinus-Schwingungen, mit unterschiedlicher Phase und Frequenz. Es zeigt sich, dass diese Funktionen eine typische Periodizität aufweisen. Nach dem Abstand λ (Wellenlänge) auf der x-Achse wiederholt sich das Muster wieder. Die Funktionen sin(2π·kx) und cos(2π·kx) hängen neben x auch noch von einem Parameter k (Frequenz) ab. Man definiert die Wellenzahl oder räumliche Frequenz k: k = 1 = Schwingungsperioden im Einheitsintervall [0..1] λ Manchmal (vor allem in der Physik) trifft man auch die Definition k = 2π λ der Sinus- oder Cosinus-Funktion nicht nötig. an. Dann ist der Faktor 2π in Die Bezeichnung räumliche Frequenz stammt von der Analog zu zeitlichen Schwingungen. Dort nennt man die Periode der Schwingung (=Wellenlänge) T und die Anzahl der Schwingungen pro Einheitszeitintervall (z.B. 1 s ⇒ [ν] = 1 Hz) Frequenz ν = 1 T , oder Kreisfrequenz ω = 2π λ . 13
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