PDF 3.6 MB - jkrieger.de

3 Fourier-Darstellung von Bildern
3.6.2 Spezielle Eigenschaften der diskreten Transformationen
Symmetrie des Kerns: Die Funktion e −2πin/N wird als Kern der DFT bezeichnet. Dieser kern weist
eine charakteristische Periodizität auf:
e −2πin/N = e −2πi(n+lN)/N ,
mit l ∈ N
Dies bedeutet, dass sich das Bild der Fourier-Transformierten im Wellenzahlraum periodisch wiederholt.
Dies lässt sich für die 1D-DFT graphisch als Ring darstellen (siehe Abb. 3.10).
g N-1
g 0
g 1
g 2
g N-2
Abb. 3.10: geometrische Interpretation der Periodizität des Kerns der 1D-DFT
3.7 DFT als diskrete unitäre Transformation und weitere
Transformationen
Die Fourier-Transformation (FT) ist ein Vertreter einer großen Klasse von Transformationen, den sog.
unitären Transformationen. Sie entsprechen in niedrig-dimensionalen Räumen den Rotationen. Es handelt
sich also um Längen- und Winkel-erhaltende Transformation. Diese unitären Transformationen auf
endlich dimensionalen (diskreten) Vektorräumen können folgendermaßen definiert werden:
Definition 3.1 (unitäre Transformation) Eine unitäre Transformation (durch eine Matrix U dargestellt)
ist eine lineare bijektive Abbildung von einem endlich-dimensionalen Vektorraum V auf sich selbst.
Es gilt:
• U ist eine unitäre Matrix (U −1 = U t )
• die Transformation erhält das Skalarprodukt auf V : 〈⃗g, ⃗ h〉 = 〈U⃗g, U ⃗ h〉 für alle ⃗g, ⃗ h ∈ V . Dies
bedeutet die Erhaltung des Winkels zwischen ⃗g und ⃗ h.
• Aus dem letzten Punkt ergibt sich auch die Erhaltung der Länge eines Vektors: ‖⃗g‖ 2
= √ 〈⃗g,⃗g〉 =
√
〈U⃗g, U⃗g〉 = ‖U⃗g‖2
• Die Komposition zweier Transformationen U 1 · U 2 ist ebenfalls eine unitäre Transformation.
• die Zeilen- und Spaltenvektoren von U bilden eine Orthonormalbasis von V .
Man kann nun die DFT etwas umformulieren und sie somit auf die Form einer unitären Transformation
darstellen (mit w N = e 2πi/N ):
ĝ k = 1 N
= 1 N
N−1
∑
n=0
N−1
∑
n=0
g n · e −2πink/N =
g n · w −nk
N
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 26 –