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3 Fourier-Darstellung von Bildern
3.2 Fourier-Reihen
Bisher wurden Bilder so dargestellt, dass zu jedem Bildpunkt ein Grau (oder Farb-)wert gespeichert
wurde. Nun betrachte man aber die Strukturen in Abb. 3.3.
Abb. 3.3: Wellenstrukturen in 2D-Bildern, mit verschiedenen Frequenzen und Ausrichtungen
In ihnen steckt weit weniger Information, als der Grauwert an jedem Bildpunkt. Sie stellen einfach Sinusförmige
(und gekippte) Schwankungen des Grauwertes dar. Es würde also zu ihrer Abspeicherung genügen
die Frequenz dieser Grauwertvariationen (Schwingungen) zu kennen, sowie ihre Verkippung. Dies
bringt einen auf die Idee der Fourier-Darstellung von Bildern. Dazu benutzt man eine Verallgemeinerung
des folgenden Satzes aus der Analysis:
Satz 3.1 (FOURIER-Entwicklung in e ikx )
zugehörige Fourier-Summe durch:
Für eine beliebige Funktion f ∈ R[0, 2π] definiert man die
F f n (x) :=
n∑
k=−n
c k e ikx mit c k := 1 ∫ 2π
f(x) e −ikx dx; k ∈ Z.
2π 0
Im Falle der Konvergenz heißt der Limes der Fourier-Summen, die Fourier-Reihe:
F f ∞(x) :=
∞∑
k=−∞
c k e ikx = lim
n∑
n→∞
k=−n
c k e ikx .
Sei nun weiter f ∈ R[0, 2π] eine 2π-periodische Funktion. Dann konvergiert ihre Fourier-Reihe im
quadratischen Mittel gegen f und mit ihren Fourier-Koeffizienten c k gilt die sog. Vollständigkeitsrelation:
2π
∞∑
k=−∞
|c k | 2 = ‖f‖ 2
Dieser Satz besagt, dass sich beliebige 2π-periodische Funktionen in komplexe e-Funktionen entwickeln
lässt. Diese Funktionen leben auf einem Vektorraum R[0, 2π] quadratintegrabler, 2π-periodischer Funktionen.
Für dieses gelten die üblichen Regeln der linearen Algebra, sodass man auch eine Basis finden
kann, in der beliebige Elemente (Vektoren) dieses Raumes dargestellt werden können. Dazu zunächst ein
kleiner Exkurs:
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 16 –