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3 Fourier-Darstellung von Bildern
In der obigen Abbildung ist rechts auch eine Verschobene Schwingung gezeigt. Um eine solche Verschiebung
zu erreichen, muss man eine Konstante ϕ (Phase) zum Argument des Sinus addieren. Dieses
ϕ hängt mit der Verschiebung ∆x so zusammen:
ϕ = ∆x
λ · 2π
Die Verschiebung wird also im Bogenmaß [0..2π] oder im Gradmaß [0..360 ◦ ] gemessen.
Jede harmonische 1D-Schwingung lässt sich also durch Angabe von zwei Parametern, nämlich der
Frequenz k und der Phase ϕ genau bestimmen. Zusätzlich kann man noch einen reellen Vorfaktor r
(Amplitude) hinzufügen, der die Schwingung skaliert:
f harmonisch (x) = r · cos(2π · kx − ϕ)
komplexe Repräsentation, 1D: Oft benötigt man zwar nur reelle Sinus- oder Cosinusschwingungen.
Um aber z.B. eine Phase ϕ zu einer Grundschwingung cos(2πkx) hinzuzufügen ist eine nicht-triviale
Rechnung mit Additionstheoremen nötig. Dies kann man umgehen, wenn man die Beziehung
z = a + ib = |z| · e iφ = |z| · (cos(φ)
+ i sin(φ) ) ,
i ∈ C, a, b, φ, |z| ∈ R
für beliebige komplexe Zahlen ausnutzt. Man kann dann obige Schwingung so schreiben:
r · cos(2πkx) = Re
{r · e i·2π·kx}
Man kann also mit der komplexen Schwingung r · e i·2π·kx rechnen und hernach nur den Realteil verwenden.
Dies hat den Sinn, dass man jetzt eine Phase ϕ durch einfache Multiplikation mit e −iϕ hinzufügen
kann:
{
Re r · e i·2π·kx · e −iϕ} {
= Re r · e i·(2π·kx−ϕ)} = r · cos(2πkx − ϕ)
3.1.2 Geometrische 2D-Repräsentation
Auch in 2D-Bildern kann man harmonische, periodische Strukturen haben, die sich dann in Grauwertschwankung
äußern, wie sie in der folgenden Abb. 3.2 gezeigt sind.
y [Pixel]
Wellenvektor k
Wellenfronten
g(x,y) = 1
Wellenlänge λ
Phasenverschiebung ∆x
g(x,y) = cos(2π k x - ϕ)
Ursprung (0,0)
|k| =
1
λ
ϕ = 2π ∆x
λ
x [Pixel]
Abb. 3.2: zur Definition des 2D-Wellenvektors
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 14 –