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7 Nachbarschaftsoperationen
Transferfunktion: Die Faltung im Realraum geht im Fourierraum in eine punktweise Multiplikation
über. Es ist also auch interessant sich die Fourier-Transformierte der Punktantwort ⃗ h eines LSI-Filters H
anzusehen. Obiges lässt sich so zusammenfassen::
Man definiert so:
Definition 7.4 (Transferfunktion)
H⃗g = ⃗ h ⊛⃗g = F −1[ˆ⃗h · ˆ⃗g
]
Die Impulsantwort eines LSI-Filters H sei mit ⃗ h bezeichnet. Ihre
Fourier-Transformierte ˆ⃗ h bezeichnet man als Transferfunktion (TF). Sie gibt an, wie stark welcher
Frequenzanteil im endgültigen Bild enthalten ist.
Im Allgemeinen ist die Transferfunktion eine komplexe Größe, sodass bestimmte Frequenzanteile nicht
nur skaliert, sondern auch verschoben werden können (sieh Abschnitt 3.6.1 und dort die Sätze über Verschiebungen).
Weist ein LSI-Filter Symmetrien auf, so vereinfacht sich dadurch die Transferfunktion. So
hat ein reeller Filter mit gerader Symmetrie eine reelle Transferfunktion. Bei ungerader Symmetrie ergibt
sich eine rein imaginäre Transferfunktion. Diese Tatsachen ergeben sich direkt aus den Symmetriebeziehungen
für die Fourier-Transformation (siehe 3.6.1). Man kann sich weiter überlegen, dass gerade Filter
nur Cosinus-Anteile enthalten können, weil diese selber symmetrisch sind. Ungerade Filter zerfallen dagegen
nur in Sinus-Anteile. Dies kann man für einen 1D-Filter einfach berechnen. Man geht von der
Symmetriebeziehung h −n = ±h n aus und rechnet:
ĥ ν =
R∑
n ′ =−R
= h 0 +
(
h n ′ exp − 2πinν )
=
N
R∑
n ′ =1
h n ′
[ (
exp − 2πinν ) ( )] 2πinν
± exp
N
N
Daraus ergibt sich schließlich analog zu obigen Behauptungen unter Verwendung von e iϕ = cos ϕ +
i sin ϕ:
gerade ĥ ν = h 0 + 2 ·
ungerade ĥ ν = −2i ·
R∑
( ) 2πinν
h n ′ cos
N
n ′ =1
R∑
( ) 2πinν
h n ′ sin
N
n ′ =1
(7.1.1)
(7.1.2)
Diese Transferfunktionen sind abhängig von einer diskreten Variable ν. Man kann durch die Setzung
Nk/2 = ν eine neue, kontinuierliche Variable k einführen, die zur besseren Darstellung der Transferfunktion
herangezogen werden kann. Sie liegt im Bereich [−1, 1[
Zerlegung eines Operator in einfachere Operatoren: Für viele komplexe Faltungsmasken lässt sich
eine einfache Zerlegung angeben, die eine schnellere Implementierung erlaubt. So lässt sich etwa folgender
2D-Operator B in zwei 1D-Operatoren B x , B y zerlegen, die über eine Faltung verknüpft sind:
⎛
⎞
⎛ ⎞
1 4 6 4 1
1
4 16 24 16 4
B =
⎜6 24 36 24 6
⎟
⎝4 16 24 16 4⎠ = (1, 4, 6, 4, 1) ⊛ 4
⎜6
⎟
⎝4⎠ = B x ⊛ B y
1 4 6 4 1
1
Man kann also anstatt mit der großen Maske zu falten auch zweimal mit einer kleineren Maske falten.
Dies verkleinert die zu betrachtende Nachbarschaft erheblich.
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 46 –