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3 Fourier-Darstellung von Bildern
Dabei muss man nur voraussetzen, dass der Integrationsbereich die Stelle x 0 überstreicht. Man stellt also
die Funktion als Summe (eigentlich Integral!!!) über die Werte an den einzelnen Stellen x k dar.
Die folgende Abb. 3.4 zeigt die Approximation einer Sägezahnfunktion durch Fourier-Reihen.
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0 1 2 3 4 5
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
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Abb. 3.4: Fourier-Reihendarstellung einer Sägezahnfunktion (grün: Sägezahn, rot: Fourierreihe). Es werden
die ersten ein bis vier Koeffizienten berücksichtigt.
Je mehr Koeffizienten also zu Approximation herangezogen werden, desto besser wird diese. Außerdem
stellt man fest, dass höhere Frequenzen zu steileren Anstiegen/Abfällen führen.
3.3 Fourier-Transformation
Es zeigt sich, dass man obige Reihenentwicklung auf beliebige Funktionen (die nicht notwendig periodisch
sein müssen) erweitern kann. Man kommt dann zur:
Satz 3.2 (FOURIER-Transformation)
Sei g(x) : R → C eine quadratintegrable Funktion, d.h.
∫ ∞
−∞
|g(x)| 2 dx < ∞.
Dann ist ihre Fourier-Transformierte ĝ(k) gegeben durch:
∫ ∞
ĝ(k) = F[g] = g(x) · e −2πikx dx =: 〈g(x), e 2πikx 〉
−∞
Ist nur ĝ(k) bekannt, so erhält man g(x) durch Rücktransformation:
∫ ∞
g(x) = F −1 [ĝ] = ĝ(k) · e 2πikx dx
−∞
Dies ist die kontinuierliche Verallgemeinerung der obigen Entwicklung. Die Funktion ĝ(k) übernimmt
die Rolle der Koeffizienten c k und die Summen gehen in Integrale über. Der erste Ausdruck entspricht
wieder einem Skalarprodukt auf dem Raum L 2 der quadratintegrablen Funktionen (einzige Voraussetzung!).
Der zweite Ausdruck entspricht der Linearkombination der Basisvektoren e 2πikx (man beachte
die komplexe Konjugation im Skalarprodukt, die im ersten Integral e 2πikx → e −2πikx bewirkt). Beide
Ausdrücke sind (bis auf das −-Zeichen) vollkommen symmetrisch. Man führt noch folgende Schreibweise
für Fourier-Paare (g, ĝ) ein:
g(x) ĝ(k)
Die folgende Tabelle führt einige Fourier-Paare auf:
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 18 –