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7 Nachbarschaftsoperationen
3. zyklische Fortsetzung: Das Bild wird am linken Rand mit dem rechten Bildrand und oben mit
dem unteren Bildrand fortgesetzt (Aufrollen des 2D-Bildes zu einem Torus im 3D-Raum). Dabei
ergibt sich eine sog. zyklische Faltung. Wird die Faltung durch eine Multiplikation im Fourier-
Raum ausgeführt, so entspricht sie dieser zyklischen Faltung. Durch die periodische Fortsetzung
kann es am Bildrand zu Grauwertsprüngen kommen, die nach Anwendung der Filtermaske zu ungewollten
Artefakten führen. Darum wird diese Lösung selten verwendet. Sie ist unproblematisch,
wenn das Bild zum Rand hin überall auf den gleichen Grauwert abfällt.
4. gespiegelter Rand: Das Bild wird gespiegelt fortgesetzt. Diese Randbedingung führt schon zu
recht wenigen Fehlern.
Rand = 0 zyklischer Rand gespiegelter Rand
Ergebnis nach Mittelung:
Fehler
Abb. 7.2: Prinzip verschiedener Randbedingungen und die Fehler, die dabei auftreten können. Es wurde ein
3 × 3 Mittelwert-Filter eingesetzt
Keine der angegebenen Methoden kann eine fehlerfreie Faltung garantieren. Darum sollte man darauf
achten, dass die interessanten Objekte im Bild mindestens eine halbe Maskenbreite vom Rand entfernt
liegen.
Probleme bei der Implementierung von Faltungsalgorithmen:
noch weitere Probleme auf:
Neben den Randbedingungen treten
• Mit steigender Dimension nimmt die Komplexität des Faltungsalgorithmus und die Größe der
Nachbarschaft schnell zu.
• Bei berechnen der Faltung müssen in der einfachsten Implementierung die Ergebnisse in ein neues
Bild geschrieben werden, da überschriebene Werte evtl. noch gebraucht werden (siehe Abb. 7.1,
rechts oben).
7.1.2 Eigenschaften von LSI-Filtern
Satz 7.1 (Linearität) Jeder LSI-Operator (Filter) H ist linear. D.h. zusammen mit zwei Bildern f,⃗g ⃗ ∈
C W und zwei Skalaren a, b ∈ C gilt:
H ( a ⃗g + b f ⃗ ) = a · (H⃗g) + b · (Hf)
⃗
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 44 –