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4 Digitalisierung, Abtastung und Quantisierung
Ist das Spektrum (Fourier-Transformierte) ĝ( ⃗ k) eines Signales g(⃗x) band-
Satz 4.1 (Abtasttheorem)
begrenzt, d.h.
ĝ( ⃗ k) = 0 ∀ ∣ ⃗ k∣ ≥ k max
=
2
1
λ min · 2 ,
dann kann es aus einer Abtastung mit der Schrittweite von ∆x = 1
k max
exakt rekonstruiert werden.
Dieser Satz besagt, dass man nur ein solches Signal g(⃗x) aus einer Abtastung richtig rekonstruieren
kann, dessen kleinste periodische Strukturen (charakterisiert durch die minimale Wellenlänge λ min , bzw.
die maximale Wellenzahl/räumliche Frequenz k max = 1
λ min
) immernoch zwei Abtastpunkte enthalten.
Die Bandbegrenztheit eines solchen Signals besagt, dass keine Strukturen vorkommen, die eine größere
Frequenz enthalten, als die Grenzfrequenz. Dies kann in der obigen einfachen Form ausgedrückt werden,
die das Fourier-transformierte Signal ĝ( ⃗ k) benutzt, das angibt, wie stark eine Frequenzkomponente ⃗ k im
Signal vorhanden ist.
Die folgende Abb. 4.2 zeigt anschaulich einige Fehler, die beim Abtasten mit zu groben 1D-Gittern
auftreten können:
< Grenzfrequenz
Grenzfrequenz
etwas zu hoch
doppelte
Grenzfrequenz
noch etwas höher
Abb. 4.2: Fehler bei der 1D-Abtastung (Aliasing-Effekte)
Die Grenzfrequenz kann gerade noch richtig dargestellt werden. Bei etwas höheren Frequenzen treten
Sturkturen auf, die vorher nicht da waren. Die doppelte Grenzfrequenz wird nicht gar nicht erkannt und
bei noch höheren Frequenzen sieht man im Bild Strukturen sehr viel größerer Wellenlänge. Letzteres
rührt daher, dass in jeder Schwingungsperiode nur noch etwas weniger als ein Abtastpunkt liegt, der immer
weiter innerhalb der Schwingung wandert. Solche Fehler werden (im 1-dimensionalen) als Aliasing
bezeichnet.
Auch in höher-dimensionalen Signalen können solche Fehler auftreten. Man spricht dann oft von Moiré-
Musternn. Sie treten z.B. auf, wenn man ein Bild aus einer Zeitschrift (Rasterdruck) mit nur geringfügig
größerer Auflösung einscannt. Man überlagert dann das Druck-Gitter mit dem Abtastgitter des Scanners.
Solche Erscheinungen treten immer auf, wenn man zwei Gitter überlagert. Die folgende Abb. 4.3 zeigt
Beispiele für den Moiré-Effekt
c○ 2006 by Jan Krieger (http://www.jkrieger.de/) – 30 –