1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion

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Die Graphen der Funktionen y=a x und y=(1/a) x liegen symmetrisch bezüglich der y- Achse. Für a>1 ist die negative x-Achse die einzige Asymptote, für 0
• Wendet man diese Formel auch für Exponenten ∊ R + an, was natürlich nur von theoretischem Interesse ist, so spricht man von einer stetigen Verzinsung K x =K 0 *q x , x∊R + , q=1+ . • Letztere ist rechnerisch bequemer, so dass man die (ohnedies nur kleine) Abweichung von der bankmäßigen Verzinsung, bei der das Kapital während des Jahres (Banken rechnen mit 12 mal 30=360 Tagen) linear verzinst wird, oft in Kauf nimmt. 72. Beispiel zur stetigen Verzinsung: • Ein Kapital von 10000 Euro wird in der Mitte des Jahres auf 3,5 Jahre angelegt. Berechne das Endkapital K n bei 3% Verzinsung mittels (1) stetiger Verzinsung und vergleiche (2) mit der bankmäßigen! • (1) K n =10000*(1+0,03) 3,5 =11089,97. • (2) Die Zinsen nach 0,5 Jahren betragen 150, das Kapital daher 10150 und nach weiteren drei Jahren K 3 =10150*(1+0,03) 3 =11091,18. • Der Unterschied zur bankmäßigen Verzinsung beträgt nur 1,21 Euro! 73. Merksatz: Die stetige Verzinsung leitet sich aus der Zinseszinsformel ab, wobei nun nicht nur Exponenten aus Q + sondern auch Exponenten aus R + zugelassen sind. Die stetige Verzinsung unterscheidet sich von der bankmäßigen dahingehend, dass die Bank im Gegensatz zur stetigen Verzinsung während des Jahres linear verzinst. Logarithmus und Logarithmusfunktion: 74. Definition des Logarithmus: • Betrachten wir das Beispiel 2³=8. Dann gibt es offenbar drei Möglichkeiten, daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen: • Die Gleichung 2³=x: Die Lösung findet man durch Potenzieren. • Die Gleichung x³=8: Die Lösung findet man durch Wurzelziehen: x= . • Die Gleichung 2 x =8: Aus dem Graphen von y=2 x kann man erkennen, dass die Gleichung genau eine Lösung hat. • Um diese Lösung -allgemein: die Lösung der Gleichung a x =b - explizit darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehrfunktion des Potenzierens und eine zugehörige Schreibweise und Sprechweise einführen. • Definition: Die Lösung der Gleichung a x =b (a∊R + \{1}, b∊R + ) in R nennt man den Logarithmus von b zur Basis a; b heißt Numerus. • a x =b ↔ x= a logb. • In Worten: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. 75. Beispiel zum Logarithmus: • Berechne: a) 7 log 49, b) 2 log (1/8), c) 5 log , d) 0,5 log 2. • a) 7 log 49=2, da 7²=49.
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