1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion

• Wendet man diese Formel auch für Exponenten ∊ R + an, was natürlich nur
von theoretischem Interesse ist, so spricht man von einer stetigen Verzinsung
K x =K 0 *q x , x∊R + , q=1+ .
• Letztere ist rechnerisch bequemer, so dass man die (ohnedies nur kleine)
Abweichung von der bankmäßigen Verzinsung, bei der das Kapital während
des Jahres (Banken rechnen mit 12 mal 30=360 Tagen) linear verzinst wird,
oft in Kauf nimmt.
72. Beispiel zur stetigen Verzinsung:
• Ein Kapital von 10000 Euro wird in der Mitte des Jahres auf 3,5 Jahre
angelegt. Berechne das Endkapital K n bei 3% Verzinsung mittels (1) stetiger
Verzinsung und vergleiche (2) mit der bankmäßigen!
• (1) K n =10000*(1+0,03) 3,5 =11089,97.
• (2) Die Zinsen nach 0,5 Jahren betragen 150, das Kapital daher 10150 und
nach weiteren drei Jahren K 3 =10150*(1+0,03) 3 =11091,18.
• Der Unterschied zur bankmäßigen Verzinsung beträgt nur 1,21 Euro!
73. Merksatz:
Die stetige Verzinsung leitet sich aus der Zinseszinsformel ab, wobei nun nicht nur
Exponenten aus Q + sondern auch Exponenten aus R + zugelassen sind. Die stetige
Verzinsung unterscheidet sich von der bankmäßigen dahingehend, dass die Bank im
Gegensatz zur stetigen Verzinsung während des Jahres linear verzinst.
Logarithmus und Logarithmusfunktion:
74. Definition des Logarithmus:
• Betrachten wir das Beispiel 2³=8. Dann gibt es offenbar drei Möglichkeiten,
daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen:
• Die Gleichung 2³=x: Die Lösung findet man durch Potenzieren.
• Die Gleichung x³=8: Die Lösung findet man durch Wurzelziehen: x= .
• Die Gleichung 2 x =8: Aus dem Graphen von y=2 x kann man erkennen, dass
die Gleichung genau eine Lösung hat.
• Um diese Lösung -allgemein: die Lösung der Gleichung a x =b - explizit
darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehrfunktion des
Potenzierens und eine zugehörige Schreibweise und Sprechweise einführen.
• Definition: Die Lösung der Gleichung a x =b (a∊R + \{1}, b∊R + ) in R nennt man
den Logarithmus von b zur Basis a; b heißt Numerus.
• a x =b ↔ x= a logb.
• In Worten: Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem
man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
75. Beispiel zum Logarithmus:
• Berechne: a) 7 log 49, b) 2 log (1/8), c) 5 log , d) 0,5 log 2.
• a) 7 log 49=2, da 7²=49.