Prozessalgebra - Programmierung und Softwaretechnik (PST ...

2.3 Axiomatisierung 17
2.3 Axiomatisierung
Rechnen mit Gleichheitsbeziehungen von Prozessen
Folgerung aus den Sätzen 2.2.1 und 2.2.2:
Die Gleichheitsrelation = ist eine Kongruenzrelation auf P 0 (bzgl. der Operationen · und +),
man kann also so mit ihr “rechnen”, wie man das “üblicherweise” für Gleichheitsrelationen gewohnt
ist.
Damit: Zwei Möglichkeiten zum Nachweis einer Gleichheitsbeziehung £ = :
• “Semantisch”: Zeige £ .
• (Wünschenswert:) Durch “Rechnen”, ohne Rückgriff auf die semantische Definition.
Systematisierung:
(1) Einige Gleichheitsbeziehungen werden als Axiome ausgezeichnet.
(2) Weitere Gleichheitsbeziehungen £ = können aus den Axiomen mit Hilfe der “üblichen
Regeln” für die Gleichheitsrelation (Gleichheitslogik) (und eventuell weiteren Regeln)
“errechnet” werden. £ = heißt dann in der somit definierten (axiomatischen) Theorie
(Axiomatisierung) Σ herleitbar. (Schreibweise: Σ ⊢ £ = .)
Die Theorie Σ BSP
Geeignete Axiome für die Gleichheit von Prozessen in BSP (Theorie Σ BSP ):
£ £
(£ ¤ ¤ £
£ £ £
(£ ¤ ¤ )¤ £
(£ £ )¤ ¤
(P1) + = + .
(P2) + ) + = + ( + ).
(P3) + = .
(P4) + = + .
(P5) = ( ).
Beispiel:
Es gilt Σ BSP ⊢ ((£ + ) + £ )£ = £ £ + £ (für beliebige £ ,
(Herleitung)
∈ P 0 ) gemäß der “Rechnung”
((£ £ )£ (£ ((£ )£
)£ ((£ £
(£ )£
£ £ £
+ ) + = + + (P1)
= + ) + (P2)
= + (P3)
= + (P4)
Satz 2.3.1 (Korrektheit von Σ BSP )
Für £ , ∈ P 0 gilt: Falls Σ BSP ⊢ £ = , so £ = .