Sicherheit in vernetzten Systemen - RRZ Universität Hamburg

5.4. ASYMMETRISCHE CHIFFREN
Sicherheit von RSA
Die Sicherheit des RSA beruht darauf, daß das Problem der Faktorisierung von großen Zahlen ein
hartes und somit sehr zeitaufwendiges ist. Ohne die Kenntnis der Primfaktoren p und q (und somit
ohne Kenntnis von ´p 1µ £ ´q 1µ) ist es nur sehr schwer möglich, aus dem öffentlichen Schlüssel
e den geheimen Schlüssel d zu berechnen. Andere mögliche Arten die Chiffre anzugreifen, wie z.B.
d mittels eines Brute Force Angriffs zu raten, sind noch aufwendiger (was bei einer Schlüsselgröße
von über 512 Bit und einem zu durchsuchenden Raum von 2 512 möglichen Schlüsseln keine Überraschung
sein sollte). Deswegen ist die Gewinnung von p und q aus n die effektivste Methode, die
RSA-Verschlüsselung zu brechen. Die Faktorisierung großer Zahlen kann durch eine mathematische
Methode, genannt das Zahlenkörpersieb (number field sieve, NFS), beschleunigt werden und liegt
dann irgendwo zwischen polynominellem und exponentiellem Aufwand. Es ist auch möglich, spezialisierte
Hardware zum Faktorisieren großer Zahlen zu bauen: 1999 wurden die Kosten für einen Computer,
der es ermöglichen soll, 512 Bit große Schlüssel zu finden, auf etwa 5000 US-Dollar geschätzt.
Abhilfe für solche Bedrohungen ist es, größere Schlüssel zu verwenden. Denn mit Vergrößerung der
Schlüssellänge (bzw. der Modul-Länge) wächst auch subexponentiell der Aufwand, den Modul zu
faktorisieren. Heutzutage sollte man als User einen Schlüssel mit einer Länge von mindestens 1024
Bit und als Unternehmen von mindestens 1536 Bit benutzen.
Fazit: Die Sicherheit des RSA ist unbewiesen. Es ist bis heute lediglich keine Möglichkeit bekannt,
eine RSA-Verschlüsselung effizient zu brechen. Ob eine derartige Möglichkeit existiert, ist unbekannt,
aber nicht ausgeschlossen.
5.4.3 Andere Ansätze für asymmetrische Chiffren
Neben dem oben beschriebenen Ansatz für asymmetrische Chiffren, deren Sicherheit auf der Schwierigkeit
des Faktorisierens großer Zahlen beruht, existieren weitere Ansätze für asymmetrische Chiffren,
in denen andere, nur mit großem Aufwand zu lösende Probleme, als Grundlage benutzt wurden:
Berechnen des diskreten Logarithmus über endlichen Gruppen: Ähnlich wie das Problem des
Faktorisierens ist das Berechnen des diskreten Logarithmus über endlichen Gruppen ein hartes
Problem. Asymmetrische Chiffren, wie z.B. der ElGamal-Algorithmus, benutzen als Gruppe
die ganzen Zahlen modulo einer Primzahl. Für diese Gruppe hat das Problem subexponentiellen
Aufwand.
Lösen von NP-vollständigen Problemen: Es existieren mehrere Ansätze, NP-vollständige Probleme
für asymmetrische Chiffren zu verwenden. Hierbei versucht man das Problem so zu modifizieren,
daß es mit Hilfe einer zusätzlichen Information einfach zu lösen ist, ohne die Information
der Aufwand aber weiterhin NP-Vollständig bleibt. Man spricht in solchen Fällen auch davon,
daß man eine Hintertür in das Problem einbaut. Das modifizierte Problem bildet den öffentlichen
Schlüssel, die Zusatzinformation den geheimen. Die zu verschlüsselnden Daten werden
in eine Instanz (bzw. in eine Aufgabestellung) des NP-Vollständigen Problems transformiert.
Um die Daten zurückzugewinnen, muß man das Problem lösen. Das Lösen des Problems ist
ohne die Kenntnis der Zusatzinformation (also dem geheimen Schlüssel) ab einer gewissen
Größe des Problems unmöglich, bei Kenntnis der Information aber im Idealfall mit linearem
Zeitaufwand zu erledigen. Leider wurde bis jetzt noch kein überzeugender Algorithmus dieses
Ansatzes gefunden.
SS 99, Seminar 18.416: Sicherheit in vernetzten Systemen 81