Sicherheit in vernetzten Systemen - RRZ Universität Hamburg

KAPITEL 5. KRYPTOGRAPHISCHE VERFAHREN
Elliptische Kurven: Asymmetrische Chiffren, deren Sicherheit auf der Schwierigkeit des Lösens
des diskreten Logarithmus über endlichen Gruppen beruht, benutzen als Gruppe i.a. die ganzen
Zahlen modulo einer Primzahl. Diese Gruppe hat leider einige Besonderheiten, durch die
das Berechnen des diskreten Logarithmus nur subexponentiellen Aufwand hat. Um ausreichende
Sicherheit zu bieten, ist es nötig, relativ große Schlüssel zu verwenden. Dieses wiederum
erschwert den Einsatz solcher Chiffren in Anwendungen, die nur über beschränkten Speicherplatz
verfügen, wie es z.B. bei Chipkarten der Fall ist. Darüber hinaus wird ein Zusammenhang
zwischen dem Problem der Faktorisierung und dem des diskreten Logarithmus vermutet. Falls
sich dieses als wahr herausstellt und darüber hinaus ein Durchbruch im Lösen eines der beiden
Probleme erzielt wird, werden mit einem Schlag fast alle verwendeten asymmetrischen Chiffren
nutzlos.
Mit den elliptischen Kurven, deren Punkte eine “Abelsche Gruppe” bilden, glaubt man, einen
potenten Ersatz für die Gruppe der ganzen Zahlen modulo einer Primzahl gefunden zu haben.
Das so gewonnene Problem hat exponentiellen Aufwand und kommt somit mit kleineren
Schlüsseln aus. Darüber hinaus ist das Problem des Lösens des Logarithmus über einer elliptischen
Kurve unabhängig vom Problem des Faktorisierens großer Zahlen. Weiter kommt positiv
hinzu, daß die bekannten und bereits als sicher bewerteten Algorithmen, die momentan noch die
Gruppe der ganzen Zahlen modulo einer Primzahl verwenden, auch mit der Gruppe der Punkte
einer elliptischen Kurve funktionieren. Der verbreiteten Benutzung dieses Ansatzes steht aber
noch im Weg, daß die Schlüsselgenerierung für derartige Algorithmen ein noch nicht befriedigend
gelöstes Problem ist.
Als Beispiel für einen Algorithmus, der erfolgreich mit elliptischen Kurven als Gruppe arbeitet,
sei hier der Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) (1992) genannt. Wie der Name
schon vermuten läßt, handelt es sich hierbei um eine Variante des DSA (siehe 5.6.1). ECDSA
wurde 1999 als ANSI-Standard (ANSI x9.62) akzeptiert.
5.5 Vergleich von symmetrischen und asymmetrischen Chiffren
In der Praxis stellt sich häufiger die Frage, ob für eine bestimmte Aufgabenstellung eher symmetrische
oder asymmetrische Chiffren geeignet sind. Deswegen lohnt sich eine vergleichende Betrachtung der
beiden Ansätze. Ein Vorteil von symmetrischen Chiffren ist die vergleichbar geringe Komplexität der
Berechnung und die damit einhergehende höhere Geschwindigkeit. Hinzu kommt, daß die Schlüssellänge
bei symmetrischen Chiffren weit unter der von asymmetrischen Chiffren liegt (56 Bit gegenüber
mind. 512 Bit). Die hohe Komplexität von asymmetrischen Chiffren macht ihren Einsatz bei großen
Datenmengen unpraktikabel.
Auf der anderen Seite liegen die Probleme bei symmetrischen Chiffren klar beim Schlüssel-austausch
und der damit verbundenen Schlüsselverwaltung. Bei n Kommunikationspartnern müssen mind. n-
1 Schlüssel auf sicheren Kanälen ausgetauscht werden und diese im Anschluß sicher aufbewahrt
werden; beides keine trivialen Probleme. Diese Probleme fallen bei der Verwendung von asymmetrischen
Chiffren weg. Der einzige Schlüssel, der sicher aufbewahrt werden muß, ist der eigene geheime
Schlüssel. Die anderen öffentlichen Schlüssel der Kommunikationspartner können an unsicheren
Stellen gelagert werden, und wenn sie noch nicht vorhanden sind, einfach vor Beginn der sicheren
Kommunikation auf ungeschützten Kanälen angefordert werden.
Aber genau hier zeigt sich eine nicht zu unterschätzende Gefahr, die bei der Benutzung von asymmetrischen
Chiffren besteht: Die Authentizität der öffentlichen Schlüssel der Kommunikationspartner ist
82 SS 99, Seminar 18.416: Sicherheit in vernetzten Systemen