Wahrscheinlichkeitstheorie - Abteilung für Mathematische Stochastik

9
Definition 2.5: Sei R ⊂ P(Ω). R heißt Ring über Ω, wenn gilt:
a) ∅ ∈ R
b) A,B ∈ R ⇒ A\B ∈ R
c) A,B ∈ R ⇒ A∪B ∈ R
Ein Ring heißt Algebra, falls Ω ∈ R.
Bemerkungen:
1) Falls R Ring, so gilt: A,B ∈ R ⇒ A∩B = A\(A\B) ∈ R.
2) Lemma 2.3 gilt für Ringe und Algebren entsprechend.
3) Jede σ-Algebra ist ein Ring und eine Algebra.
Beispiele für Ringe, Algebren und σ-Algebren:
1) F = {A|A ⊂ Ω, #A endlich} ist Ring.
Ist #Ω endlich, so ist F Algebra.
2) Sei S
{
= {(a,b]|0 ≤ a ≤ b ≤ 1}. Sei
}
∣ ⋃
R = A ⊂ (0,1] ∣A = n (a i ,b i ], (a i ,b i ] ∈ S paarweise disjunkt .
i=1
R ist Ring und Algebra.
3) DieBorelsche σ-Algebraauf (0,1],genannt B(0,1],istdievon S erzeugte
σ-Algebra, d.h. B(0,1] = σ(S). Es gilt auch σ(R) = σ(S).
Definition 2.6: Sei Ω = R k , O k = { U |U ⊂ R k , U offen } . Die σ-Algebra
B ( R k) = σ(O k ) heißt Borelsche σ-Algebra auf R k .
Seien a = (a 1 ,...,a k ) und b = (b 1 ,...,b k ) aus R k .
a ≤ b
Def.
⇐⇒ a i ≤ b i für i = 1,...,k
Sei nun a ≤ b. Man definiert
(a,b] := { x ∈ R k | a < x ≤ b }
(a,b) := { x ∈ R k |a < x < b }
[a,b] := { x ∈ R k |a ≤ x ≤ b }